Question

Encontre a equação da reta tangente à curva y=2x senx , no ponto P(π/2 , π)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Devemos determinar a equação da reta tangente à curva do gráfico da função $f(x)=2x\sin(x)$, no ponto $\left(\dfrac{\pi}{2},~\pi\right)$.

Primeiro, lembre-se que a equação da reta tangente à curva $\mathcal{C}$ do gráfico de uma função $f(x)$ em um ponto $(x_0,~f(x_0))$ de seu domínio $\mathcal{D}$ é dada por: $y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$.

Então, calculamos a derivada da função.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade:

$(f(x))'=(2x\sin(x))'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada do produto entre duas funções é calculada pela regra do produto: $(g(x)\cdot h(x))'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero. Com isso, têm-se que $(c\cdot g(x)\cdot h(x))'=c\cdot (g(x)\cdot h(x))'$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno.

Aplique a regra do produto

$f'(x)=2\cdot(x\cdot \sin(x))'\\\\\\ f'(x)=2\cdot((x)'\cdot \sin(x)+x\cdot (\sin(x))')$

Calcule a derivada da potência e a derivada da função seno, sabendo que $x=x^1$

$f'(x)=2\cdot(1\cdot x^{1-1}\cdot\sin(x)+x\cdot\cos(x))\\\\\\ f'(x)=2\sin(x)+2x\cos(x)$

Determinamos o valor desta derivada no ponto $x=\dfrac{\pi}{2}$

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\\\\\\f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2}$

Substituindo estes dados na equação da reta tangente, teremos:

$y=\pi+2\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e cancele os termos opostos

$y=\pi+2x-\pi\\\\\\ y=2x~~\checkmark$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.