Question

encontre a equação da reta tangente a curva X²(x+y)=y²(3x- y) no ponto (1, 1).​

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$x {}^{2} (x + y) = y {}^{2} (3x - y)$

A questão quer saber a reta tangente a essa curva e passa pelo ponto (1,1). Primeiro vamos organizar essa expressão, ou seja, multiplicar os termos de fora do parêntese pelos de dentro:

$x {}^{2} .x + x {}^{2} .y = y {}^{2} .3 x- y {}^{2} .y \\ \\ x {}^{3} + x {}^{2} y = 3x {y}^{2} - y {}^{3}$

Agora vamos começar o processo de encontrar a reta tangente. Como sabemos, a definição algébrica de derivada é justamente o coeficiente angular, então vamos começar derivando essa função. Observe que o "y" não está isolado como normalmente, então vamos ter que derivar implicitamente, ou seja, y é uma função de x, logo devemos aplicar a regra da cadeia quando derivarmos a função "y":

$\frac{d}{dx} (x {}^{3} ) + \frac{d}{dx} (x {}^{2} y) = \frac{d}{dx} (3xy {}^{2} ) - \frac{d}{dx} (y {}^{3} )$

Observe também que devemos aplicar a regra do produto em alguns termos:

$3x {}^{2} + \frac{d}{dx} (x {}^{2} ).y + x {}^{2} . \frac{d}{dx} y = 3.\left(\frac{d}{dx} (x).y {}^{2} + x. \frac{d}{dx} y {}^{2} \right) - 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx} \\ \\ 3x {}^{2} + 2xy + x {}^{2} . \frac{dy}{dx} = 3y {}^{2} + 6xy. \frac{dy}{dx} - 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx}$

Agora vamos isolar o termo dy/dx:

$3x {}^{2} + 2xy + x {}^{2} . \frac{dy}{dx} = 3y {}^{2} + 2xy. \frac{dy}{dx} - 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx} \\ \\ x {}^{2}. \frac{dy}{dx} - 2xy. \frac{dy}{dx} + 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx} = - 3x {}^{2} -2 xy + 3y {}^{2} \\ \\ \frac{dy}{dx} (x {}^{2} - 2xy + 3y{}^{2} ) = - 3x {}^{2} - 2xy + 3y {}^{2} \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 3x {}^{2} - 2xy + 3y {}^{2} }{x {}^{2} - 6xy + 3y {}^{2} } }$

Tendo feito a derivação, agora basta encontrar o valor numérico do coeficiente angular dessa reta tangente, para isso basta substituir o valores da abscissa e ordenada do ponto de tangência:

$\frac{dy}{dx} \equiv m \longrightarrow m = \frac{ - 3.1 {}^{2} - 2.1.1 + 3.1 {}^{2} }{1 {}^{2} - 6.1.1 + 3.1 {}^{2} } \\ \\ m = \frac{ - 3 - 2 + 3}{1 - 6 + 3} \longrightarrow m = \frac{ - 2}{ - 2} \\ \\ \boxed{ m = 1}$

Pronto, com o coeficiente e o ponto de tangência, é possível montar a equação com ajudar da equação fundamental da reta:

$y-y_0 = m.(x-x_0) \\ y - 1 = 1.(x - 1) \\ y - 1 = x - 1 \\ \boxed{ x - y = 0}$

Espero ter ajudado