Question

Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: 2x + 3y – 4 =0, sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4).​

Answer 1

A equação da reta s, perpendicular à reta t é 3x - 2y - 1 = 0.

Bom, a questão trata-se de uma coisa beem básica na geometria analítica, para encontrarmos a equação da reta s devemos perceber que, a questão afirma que a equação da reta s é perpendicula à reta t, e diz que a mesma passa pelos pontos P(3,4).​ Em geometria analitica, quando uma reta é perpendicular a outra reta deveremos utilizar " $\mathbf{M_{s} \cdot M_{t} = -1}$ " onde Ms é o coeficiente angular da reta s e o Mt é o coeficiente angular da reta t. Ou seja:

$\large\boxed{\mathbf{S || T ==> M_{s} \cdot M_{t} = -1}}$

Agora que já sabemos disso, devemos primeiramente encontrar o coeficiente angular t, para isso devemos isolar o y da equação da reta t 2x + 3y – 4 =0. Ficando assim:

$\begin{array}{lr}\sf \mathbf{2x + 3y - 4 =0}\\\\ \mathbf{ 3y = - 2x+ 4}\\\\\boxed{ \mathbf{ y = -\dfrac{ 2x}{3} + \dfrac{4}{3}} }\end{array}$

Pronto amigo, encontramos o Mt, agora devemos lembrar que s é perpendicular a t, então t é a inversa de s. Portanto:

$\begin{array}{lr}\sf \boxed{ \mathbf{ M_{s} = \frac{-1}{\frac{-2}{3}} = \frac{3}{2} }}\end{array}$

Agora, basta encontrarmos a equação da reta s, para isso eu usarei

" y - yo = Ms ( x - xo ) ", onde xo e yo são coordenadas do ponto P. Logo:

$\begin{array}{lr}\sf \mathbf{ y - 4 = \dfrac{3}{2} \cdot ( x - 3 )}\\\\ \mathbf{ y -4 = \dfrac{3\cdot (x-3)}{2} }\\\\\mathbf{ y -4 = \dfrac{3x - 9}{2} }\\\\\mathbf{ \dfrac{y -4}{1} = \dfrac{3x - 9}{2} }\\\\\\\mathbf{(y-4)\cdot 2 = (3x-9)\cdot 1}\\\\\mathbf{2y - 8 = 3x - 9}\\\\\mathbf{3x -9-2y+8 =0}\\\\\boxed{\mathbf{3x -2y-1 =0}}\end{array}$

Portanto, a equação da reta s é 3x - 2y - 1 = 0.

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