Question

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto C(0,3) e é perpendicular a reta y= -x + 1

Answer 1

Com os cálculos realizados concluímos que a equação da reta s que passa pelo ponto é $\Large \displaystyle \mathsf{ x -y + 3 = 0 }$  ou  $\Large \displaystyle \mathsf{ y =x + 3 }$.

 

Duas retas, r e s, não verticais, são perpendiculares se, e somente se, o coeficiente angular de uma delas é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra. ( Vide a figura em anexo ).

Os coeficientes angulares das retas r e s são:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf m_r = \tan{\alpha} \\\sf m_s = \tan{ (90^\circ + \alpha)} = -\: \dfrac{1}{\tan{\alpha}} \end{cases} } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = -\:\dfrac{1}{m_r} } } }$

Equação fundamental da reta:

Se r é a reta não vertical que passa pelo ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P(x_0, y_0) }$ e tem coeficiente angular m, então uma equação de r é:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m \cdot ( x - x_0) } }$

Equação reduzida da reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y = m x +n } }$

Onde:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf m \to coeficiente~ angular \\\sf n \to coeficiente ~ linear \end{cases} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf S: y - y_C = m \cdot ( x - x_C) \\\sf C (0, 3) \\\sf r: y = -x+1\\\sf s \perp r \end{cases} } }$

Devemos determinar o coeficiente da reta r.

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = -x +1 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = -\; 1 }$

Como o coeficiente angular de s é o oposto do inverso do coeficiente angular de r, isto é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = -\: \dfrac{1}{m_r} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = 1 }$

Na equação fundamental da reta, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m \cdot (x - x_0) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - 3 = 1 \cdot (x -0) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -3 = x }$

$\Large \displaystyle \mathsf{x = y - 3 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf s: x - y + 3 \quad \gets} \large \text {\sf equa \sf c_{\!\!\!,} {\~a}o geral da reta}$

               ou

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf s: y = x+3 \quad \gets} \large \text {\sf equa \sf c_{\!\!\!,} {\~a}o reduzida da reta}$

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