Matemática, perguntado por sabrinadantas7321, 5 meses atrás

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (3,-2) e é paralela à reta de equação 3x+4y-7=0.

Soluções para a tarefa

Respondido por regiseloy

Resposta:

Forma reduzida: $=\frac{-3x+1}{4}$

Forma geral: $3x+4y-1=0$

Explicação passo a passo:

No problema sabemos que as retas r: 3x+4y-7=0 e s: ax+by+c=0 são paralelas. Sendo assim podemos afirmar que retas paralelas possuem a mesma inclinação, ou seja, coeficientes angulares iguais.

Dada a equação geral da reta r: 3x+4y-7=0, podemos escrever sua equação na forma reduzida: y = ax + b e obter seu coeficiente angular a. Assim, temos que:

$3x+4y-7=0\\4y=-3x+7\\y=\frac{-3x}{4}+\frac{7}{4} \\$

Sendo o coeficiente angular da reta r e s iguais, temos que: a = -3/4.

Agora basta utilizar o ponto (3 ; -2) pertencente a reta s e fazer a substituição numérica para obter o coeficiente linear b. Observe:

$s: y=ax+b\\s:y=\frac{-3x}{4} +b\\$

Trocando o x = 3 e o y= - 2, temos:

$y=\frac{-3x}{4} +b\\\\-2=\frac{-3.(3)}{4}+b\\\\-b=\frac{-9}{4} +2\\\\-b=\frac{-9}{4} +\frac{8}{4}\\\\-b=\frac{-1}{4}\\\\b=\frac{+1}{4}$

Por fim, com a= -3/4 e b=1/4, podemos escrever a equação dessa reta s que é paralela a reta r e passa pelo ponto (3, -2).

No formato reduzido y = ax + b, temos:

$y=\frac{-3x}{4}+\frac{1}{4}\\\\y=\frac{-3x+1}{4} \\$

Ou ainda em sua forma geral:

$-3x+1=4y\\-3x-4y+1=0\\3x+4y-1=0$

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação reduzida da equação é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = - \frac{3x}{4} + \frac{1}{4} \:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} P = (3, -2)\\ s: 3x + 4y - 7 = 0\end{cases}$

Para determinar a equação da reta "r" que passa pelo ponto "P" sendo paralela à reta "s", devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", que é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}Y - Y_{P} = m_{r}(X - X_{P}) \end{gathered}$}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r \parallel s\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:m_{r} = m_{s}\end{gathered}$}$

Desse modo devemos recuperar o coeficiente angular da reta "s". Para isso devemos converta a forma geral da reta "s" para a forma reduzida, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x + 4y - 7 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 4y = -3x + 7\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4} \end{gathered}$}$

A partir desse momento podemos afirmar que o coeficiente angular da reta "s" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m_{s} = -\frac{3}{4} \end{gathered}$}$

Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{r} = m_{s} = -\frac{3}{4} \end{gathered}$}$

Substituindo os dados na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y - (-2) = - \frac{3}{4}(x - 3) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y + 2 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} \end{gathered}$}$

A partir desse momento devemos saber qual ser a forma final da equação da reta. Como não foi dito o tipo final da equação da reta, vou afirmar que o tipo final será a forma reduzida. Para isso, devemos isolar "y" no primeiro membro da equação. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = - \frac{3x}{4} + \frac{9}{4} - 2 \end{gathered}$}$