Question

Encontre a equacao da reta que passa pela interseccao das retas (r): 2x+5y-3 e (s): x-y+2, e que e paralela a reta (u): 2x+y-1

Answer 1

Vamos à resolução do exercício proposto.

Trata-se de uma questão clássica de geometria analítica, pois a questão pede o ponto de intersecção das retas e a declividade da reta que passa por esse ponto. Para encontrarmos o ponto de intersecção delas, procederemos por sistema linear 2x2 (duas equações lineares e duas incógnitas). Com isso, obtêm-se:

(r): 2x+5y-3=0 (i)

(s): x-y+2=0 (ii)

Multiplicando (ii) por (-2) e adicionando o resultado a (i), temos:

(2x+5y-3)+(-2)(x-y+2)=0 <=>

2x+5y-3-2x+2y-4=0 <=>

5y+2y-3-4=0 <=>

7y=7 <=>

y=1 (iii)

Para calcular o valor da abscissa do ponto de intersecção, substituiremos em (ii), o valor de “y” encontrado em (iii). Substituindo, obteremos:

x-y+2=0 e y=1 =>

x-1+2=0 <=>

x+1=0 <=>

x=(-1)

Logo, o ponto de intersecção das retas (r): 2x+5y-3=0 e (s): x-y+2=0 é dado pelo par ordenado (-1,1).

A questão pede a equação da reta que passa pelo ponto (-1,1) e que tem coeficiente angular igual à inclinação da reta (u): 2x+y-1=0 (os coeficientes angulares são iguais, pois a questão informa o paralelismo entre as retas). Calculando o coeficiente angular da reta “u”, temos:

(u): 2x+y-1=0 <=>

(u): y=1-2x <=>

(u): y=(-2)x+1

Com isso temos que o coeficiente angular de (u): 2x+y-1=0 é o número inteiro (-2). Sabemos que a reta de equação incógnita passa pelo ponto (-1,1) e tem coeficiente angular igual a (-2). Sabemos que a equação genérica de uma reta que passa por um ponto de coordenadas arbitrárias, dado por (x0,y0) (“x0” e “y0” são reais quaisquer) e que possui coeficiente angular igual a “m” (“m” é um número real qualquer) é dada por:

y-y0=m(x-x0)

A equação acima é também chamada “equação genérica de uma reta na forma ponto-inclinação” ou “equação ponto-inclinação da reta”, ou ainda “equação da reta na forma ponto-inclinação”. Com a equação acima e os dados fornecidos anteriormente, temos que a equação pedida vale:

Passa pelo ponto (-1,1);

Tem coeficiente angular igual a (-2);

y-y0=m(x-x0) e x0=(-1),y0=1 e m=(-2) =>

y-1=(-2)[x-(-1)] <=>

y-1=(-2)(x+1) <=>

y-1=(-2)x-2 <=>

y=(-2)x-2+1 <=>

y=(-2)x-1 => y=-2x-1

ou

2x+y+1=0

A equação da reta que passa pelo ponto (-1,1) e que tem coeficiente angular (-2) é dada por “2x+y+1=0” ou “y=-2x-1”.

Abraços!