Question

Encontre a equação da reta que é perpendicular a reta x-2y+4 =0,e forma com os eixos coordenados um triângulo de base de área 4,de modo que esse triângulo tenha intersecção não vazia com a reta x-y = -3

Answer 1

Boa noite

A reta perpendicular à reta de equação ax+by+c=0 tem equação da forma

-bx+ay-d=0 . Deste modo uma equação de reta perpendicular à x-2y+4=0 é 

2x+y-d=0 .

Para formar o triângulo com os eixos  ,vamos fazer :

x=0 ⇒ 2*0+y-d=0 ⇒ y=d

y=0⇒ 2x+0-d=0 ⇒ 2x =d ⇒ x = d / 2

A área do triângulo será dada por 

$S= \dfrac{x*y}{2} = \dfrac{d* \dfrac{d}{2} }{2} = \dfrac{ d^{2} }{4} =4\Rightarrow d^{2} =16\Rightarrow d=\pm4$

Podemos formar dois triângulos de área 4 com as coordenadas :

1)   A(0,0) ; B(2,0)  e  C(0,4) 

a reta que passa por B(2,0)  e C(0,4)  tem equação 2x+y-4=0 e intercepta

a reta x-y=-3 no ponto D( 1/3 ; 4/3) do triângulo.

A interseção da reta x-y=-3 com o triângulo é um segmento de reta que vai

 de E (0,3) a D( 1/3 ; 4/3 )   logo

a reta de equação     2x+y-4=0    é uma solução do problema.

2)  A(0,0) ; F(-2,0)  e  G(0,-4)

A reta que passa por F(-2,0)  e G(0,-4) tem equação 2x+y+4=0 e intercepta 

a reta x-y=-3 no ponto H( - 7/3 ; 2/3 ) [ observe que a ordenada é positiva e

nenhum ponto do triângulo tem ordenada positiva ] logo a reta de equação 

2x+y+4=0 não serve ao problema

Resposta : A equação da reta é  2x+y-4=0