Question

Encontre a equa¸c˜ao vetorial e as equa¸c˜oes parametricas da reta que
passa pelo ponto (1,-2,3) e paralela ao vetor normal do plano que
cont´em os pontos (1,1,1), (2,1,1) e (1,-1,3).

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica e álgebra linear.

O vetor normal de um plano $\pi$ que passa pelos pontos $A,~B$ e $C$ é calculado pelo produto vetorial dos vetores diretores dos segmentos de reta $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$.

Estes vetores podem ser calculados por meio da fórmula: $\overrightarrow{AB}=B-A$ e $\overrightarrow{AC}=C-A$.

Dados os pontos $A=(1,~1,~1),~B=(2,~1,~1)$ e $C=(1,\,-1,~3)$, calculamos os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AB}=(2,~1,~1)-(1,~1,~1)=(2-1,~1-1,~1-1)=(1,~0,~0)\\\\\\ \overrightarrow{AC}=(1,\,-1,~3)-(1,~1,~1)=(0,\,-2,~2)$

O produto vetorial de dois vetores $\vec{u}=\langle{u_1,~u_2,~u_3\rangle$ e $\vec{v}=\langle{v_1,~v_2,~v_3\rangle$ é calculado por meio do determinante: $\vec{u}\times\vec{v}=\vmatrix{\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\\end{vmatrix}=(u_2v_3-u_3v_2)\hat{i}-(u_1v_3-u_3v_1)\hat{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\hat{k}$, onde $\hat{i}=\langle1,~0,~0\rangle,~\hat{j}=\langle0,~1,~0\rangle$ e $\hat{k}=\langle0,~0,~1\rangle$ são os vetores geradores dos pontos em $\mathbb{E}^3$.

Substituindo as componentes dos vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$, temos:

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{n}=(0\cdot 2-0\cdot (-2))\hat{i}-(1\cdot2-0\cdot 0)\hat{j}+(1\cdot(-2)-0\cdot0)\hat{k}\\\\\\ \vec{n}=\langle0,\,-2,\,-2\rangle$

Este vetor pode ser reescrito como $\vec{n}=\langle0,~1,~1\rangle$, ao dividir o vetor por um fator $(-2)$, pois qualquer vetor paralelo ao vetor normal de um plano é também normal a este plano.

Por fim, a equação de uma reta que passa por um ponto $A=(A_1,~A_2,~A_3)$ e é paralela a um vetor $\vec{u}=\langle{u_1,~u_2,~u_3\rangle$ tem equação vetorial: $\vec{r}=A+\lambda\cdot \vec{u}$ e equação paramétrica: $\begin{cases}x=A_1+\lambda\cdot u_1\\y=A_2+\lambda\cdot u_2\\z=A_3+\lambda\cdot u_3\\\end{cases}$ .

Substituindo as coordenadas do ponto $(1,\,-2,~3)$ e o vetor normal que calculamos, teremos:

A equação vetorial da reta:

$\boxed{\vec{r}=(1,\,-2,~3)+\lambda\cdot(0,~1,~1)}$

A equação paramétrica da reta:

$\boxed{\begin{cases}x=1\\y=-2+\lambda\\z=3+\lambda\\\end{cases}}$