Question

Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares (4, π/3) e (8, 2π/3).

Answer 1

Com os cálculos realizados concluímos que  a distância  $\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d_{P_1 P_2} = 4\sqrt{3} }$ .

Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades.

Indicaremos a distância entre A e B por $\textstyle \sf \sf d_{AB}$ .  ( Vide a figura em anexo ).

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo APB, vem:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( d_{AB} \right)^2 = \left( d_{AP} \right)^2 + \left( d_{BP}\right)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( d_{AB} \right)^2 = \left( x_B- x_A \right)^2 + \left( y_B- y_A \right)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{AB} = \sqrt{ \left( x_B- x_A \right)^2 + \left( y_B- y_A \right)^2 } } }$

Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas.

( Vide a figura em anexo ).

As relações entre estas coordenadas são dadas por:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ x = \rho \cdot \cos{\theta} ~ ~ e ~ ~ y = \rho \cdot \sin{\theta} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P_1 \: \left( 4, \dfrac{\pi}{3} \right) \\ \\ \\ \sf P_2 \: \left( 8, \dfrac{2\pi}{3} \right) \\ \\ \sf d_{P_1 P_2} = \:?\: \end{cases} } }$

Passando as coordenadas em polares em cartesianas, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_1 \: \left( 4, \dfrac{\pi}{3} \right) \Rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 4 \cos{ \dfrac{\pi}{3} } = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2\\ \\ \sf y_1 = 4 \sin{ \dfrac{\pi}{3} } = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} = 2\sqrt{3} \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_2 \: \left( 8, \dfrac{2\pi}{3} \right) \Rightarrow \begin{cases} \sf x_2 = 8 \cos{ \dfrac{2\pi}{3} } = 8 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -4\\ \\ \sf y_2 = 8 \sin{ \dfrac{2\pi}{3} } = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} = 4\sqrt{3} \end{cases} } }$

Agora determinar a distância entre os pontos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ \left( x_2- x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ \left( -4 - 2 \right)^2 + \left( 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \right)^2 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ \left( -6 \right)^2 + \left( 2\sqrt{3} \right)^2 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ 36 + 4 \cdot 3 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ 36 + 12 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ 36 + 12 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ 48 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ 16 \cdot 3 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{P_1P_2} = \sqrt{ 16 } \:\cdot \sqrt{3} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d_{P_1 d_2} = 4 \sqrt{3} }$

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Answer 2

✅ Depois de resolver os cálculos, concluímos que a distância entre os referidos pontos de coordenadas polares "A(4, Π/3)" e "B(8, 2Π/3)" é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf d(A, B) = 4\sqrt{3}\:u.\:c.\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos na forma polar:

         $\LARGE\begin{cases} A = \left(4,\,\frac{\pi}{3}\right) \LARGE\begin{cases} r_{A} = 4\:u.\:c.\\\alpha = \frac{\pi}{3}\end{cases} \\B = \left(8,\,\frac{2\pi}{3}\right) \LARGE\begin{cases} r_{B} = 8\:u.\:c.\\\beta = \frac{2\pi}{3}\end{cases} \end{cases}$

Para calcular a distância entre dois pontos cujas coordenadas polares são fornecidas, devemos fazer:

 $\Large \text { \begin{aligned}d(A,B) & = \sqrt{r_{A}^{2} + r_{B}^{2} - 2r_{A}\cdot r_{B}\cdot\cos(\beta - \alpha)}\\& = \sqrt{4^{2} + 8^{2} - 2\cdot4\cdot8\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right)}\\& = \sqrt{16 + 64 - 64\cdot\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\\& = \sqrt{80 - 64\cdot\frac{1}{2}}\\& = \sqrt{80 - 32}\\& = \sqrt{48}\\& = \sqrt{4^{2}\cdot3}\\& = 4\sqrt{3}\end{aligned} }$

✅ Portanto, a distância entre os referidos pontos é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} d(A,B) = 4\sqrt{3}\:u.\:c.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$