Question

Encontre a distância entre o ponto P e a reta r, sendo
a) P(-1,-3) e r: 3x - y + 5 = 0
b) P(-2,5) e r: 5x + 2y + 29 = 0

Answer 1

Olá


Distância entre ponto e reta, Geometria analítica.



a)

P = (-1, -3)
r: 3x - y + 5 = 0


Podemos calcular a distancia entre um ponto e uma reta a partir da seguinte fórmula



$\displaystyle \mathsf{distancia(Ponto,~reta)~=~ \frac{|ax +by+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} } }$



Sendo:

'a' o termo que acompanha o 'x'
'b' o termo que acompanha o 'y'
'c' o termo que está sozinho.


Mas atenção, só pode utilizar essa fórmula se a reta estiver na forma geral (igualada a zero)


Os pontos, nós substituiremos por 'x' e 'y', de acordo com as coordenadas que eles estão.

OBS: Note que no numerador está em módulo '| |', isso significa que sempre será positivo 

Calculando


$\displaystyle \mathsf{d(p,r)= \frac{|3(-1)~-~(-3)+5|}{ \sqrt{(3)^2+(-1)^2} } }\\\\\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{|-3+3+5|}{ \sqrt{9+1} } }\\\\\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{|5|}{ \sqrt{10} } }\\\\\\\text{Racionaliza}\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{5}{ \sqrt{10} }\cdot \frac{ \sqrt{10} }{ \sqrt{10} } } \\\\\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{\diagup\!\!\!\!5 \sqrt{10} }{ \diagup\!\!\!\!\!\!10 } } } \\\\\\\\\boxed{\mathsf{d(p,r)= \frac{ \sqrt{10} }{ 2 } } } }$





B)

P = (-2,5)
r: 5x + 2y + 29 = 0


É o mesmo princípio do item A), portanto irei direto aos cálculos.


$\displaystyle \mathsf{d(p,r)= \frac{|5(-2)~+~2(5)+29|}{ \sqrt{(5)^2+(2)^2} } }\\\\\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{|-10+10+29|}{ \sqrt{25+4} } }\\\\\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{|29|}{ \sqrt{29} } }\\\\\\\text{Racionaliza}\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{29}{ \sqrt{29} }\cdot \frac{ \sqrt{29} }{ \sqrt{29} } } \\\\\\\\\mathsf{d(p,r)= \frac{\diagup\!\!\!\!\!\!29 \sqrt{29} }{ \diagup\!\!\!\!\!\!29 } } } \\\\\\\\\boxed{\mathsf{d(p,r)= \sqrt{29} } } }$






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