Question

Encontre a diferencial total da função z= e^(x^2+ y^2 ) (senx)^2 das três variáveis x, y e z.

Answer 1

Na verdade aqui temos  z  expresso como uma função de duas variáveis  x  e  y.

     $z(x,\,y)=e^{x^2+y^2}\cdot \mathrm{sen^2\,}x$

Para expressar o diferencial total, devemos calcular as derivadas parciais de  z  em relação a cada uma das variáveis.

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     •   Derivada parcial de  z  em relação a  x:

     $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{x^2+y^2}\cdot \mathrm{sen^2\,}x)$

Aplique a regra do produto combinada com a regra da cadeia:

     $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{x^2+y^2})\cdot \mathrm{sen^2\,}x+e^{x^2+y^2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(\mathrm{sen^2\,}x)\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x^2+y^2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)\cdot \mathrm{sen^2\,}+e^{x^2+y^2}\cdot 2(\mathrm{sen\,}x)^{2-1}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(\mathrm{sen\,}x)\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x^2+y^2}\cdot (2x+0)\cdot \mathrm{sen^2\,}x+e^{x^2+y^2}\cdot 2\,\mathrm{sen\,}x\cdot \cos x\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=2x\,e^{x^2+y^2}\,\mathrm{sen^2\,}x+e^{x^2+y^2}\cdot 2\,\mathrm{sen\,}x\cos x$

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     •   Derivada parcial de  z  em relação a  y:

     $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(e^{x^2+y^2}\cdot \mathrm{sen^2\,}x)$

Passe a função independente de  y  como constante:

     $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\mathrm{sen^2\,}x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{x^2+y^2})\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\mathrm{sen^2\,}x\cdot e^{x^2+y^2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\mathrm{sen^2\,}x\cdot e^{x^2+y^2}\cdot (0+2y)\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=2y\,e^{x^2+y^2}\,\mathrm{sen^2\,}x$

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Assim, o diferencial total de  z  é

     $dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy$

     $dz=\big(2x\,e^{x^2+y^2}\,\mathrm{sen^2\,}x+e^{x^2+y^2}\cdot 2\,\mathrm{sen\,}x\cos x\big)dx+\big(2y\,e^{x^2+y^2}\,\mathrm{sen^2\,}x\big)dy$

Bons estudos! :-)