Question

Encontre a derivada parcial de segunda ordem $\frac{df}{dxdy}$ no seguinte caso:
f(x,y)= $x^{2} y+3x.cos(y)+sen(x).ln| y^{2} x|$

Answer 1

$f(x,y)=x^2y+3x*cos(y)+sen(x)*ln|y^2x|$

lembrando que a derivada de segunda ordem
$\boxed{\boxed{\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial }{\partial x } \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}}$

primeiro calcula a derivada parcial em relação a y
depois deriva a função que você encontrou em relação a x
$\frac{\partial f}{\partial y} =x^2*1+3x*-sen(y)+sen(x)* \frac{1}{y^2x}*(2y^{2-1}x )\\\\ \frac{\partial x}{\partial y} = x^2-3x*sen(y)+sen(x)* \frac{1}{y^2x} *(2yx)\\\\\boxed{\boxed{ \frac{\partial x}{\partial y} = x^2-3x*sen(y)+ 2sen(x)* \frac{1}{y} }}$

derivando este resultado que encontramos em  agora em relação x

$\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} = 2x^{2-1}-3*1*sen(y)+2*cos(x)* \frac{1}{y} \\\\\\\boxed{\boxed{\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} =2x-3sen(y)+ \frac{2cos(x)}{y} }}$