Question

Encontre a derivada direcional da função f(x,y)=2x^2+y^2 em p(-1,1) na direção do vetor u=3i-4j

Answer 1

$\bmatrix f(x,y)= 2x^2+y^2\\\\P(-1,1)\\\\\vec U= 3\vec i - 4\vec j\end$

tirando o módulo do vetor U
$||\vec U|| = \sqrt{(3)^2+(-4)^2} =5$

o verso de U então sera
$\boxed{\boxed{\hat{U}= \frac{\vec U}{||\vec U||} = \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} }}$

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encontrando derivadas parciais 
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =4x + 0 \\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 0+2y$

calculando as derivadas parciais no ponto P(-1,1)
$\bmatrix \frac{\partial f(P)}{\partial x}= 4*(-1) = -4 \\\\ \frac{\partial f(P)}{\partial y}= 2*(1) = 2 \end$

o vetor gradiente no ponto P é 
$\vec \nabla f(P) = \frac{\partial f(P)}{\partial x}, \frac{\partial f(P)}{\partial y} = (-4,2)$


a derivada direcional será

$D _U f= \vec \nabla f(P)* \hat U \to \text{Produto escalar entre o vetor e o versor}\\\\\\D _U f=(-4,2)* \frac{(3,-4)}{5} \\\\ D_u f= \frac{(-4*3)+(2*(-4))}{5}\\\\ D_u f = \frac{-12-8}{5}= \frac{-20}{5}=-4$

Answer 2

Inicialmente vamos calcular o vetor gradiente em (- 1, 1):

$\nabla f(x,y)=(4x)i+(2y)j\implies\nabla f(-1,1)=-4i+2j$

Agora calculamos o vetor unitário de u:

$\hat u=\dfrac{\vec u}{||\vec u||} =\dfrac{3}{5}i- \dfrac{4}{5} j$

Portanto a derivada direcional na direção de u é dada por:

$D_uf(x,y)=\nabla f(-1,1)\cdot u=(-4i+2j)\bigg(\dfrac{3}{5}i-\dfrac{4}{5}j \bigg)=\dfrac{-4\cdot3+2(-4)}{5}=-4$