Question

Encontre a derivada de f(x) = x² + 1, no ponto xo = 5 por definição

Answer 1

Por definição temos que a derivada de uma função em um ponto x0 é dada por:

$\lim_{x\rightarrow \: x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ \\ \lim_{x\rightarrow \: 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} \\ \\ \lim_{x\rightarrow \: 5} \frac{ {x}^{2} + 1 - ( {5}^{2} + 1) }{x - 5} \\ \\ \lim_{x\rightarrow \: 5} \frac{ {x}^{2} + 1 - {5}^{2} - 1 }{x - 5} \\ \\ \lim_{x\rightarrow \: 5} \frac{ {x}^{2} - {5}^{2} }{x - 5}$

Utilizarei agora de uma técnica de fatoração chamada diferença de quadrados para remover a indeterminação do limite

$\lim_{x\rightarrow \: 5} \frac{ {x}^{2} - {5}^{2} }{x - 5} \\ \\ \lim_{x\rightarrow \: 5} \frac{ (x + 5)(x - 5) }{x - 5} \\ \\ \lim_{x\rightarrow \: 5} x + 5 = 10$

Answer 2

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm D~\!\!efinic_{\!\!,}\tilde ao~de~derivada~no~ponto}\\\displaystyle\sf f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f'(5)=\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2+1-(5^2+1)}{x-5}\\\\\displaystyle\sf f'(5)=\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2+1-26}{x-5}\\\\\displaystyle\sf f'(5)=\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2-25}{x-5}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f'(5)=\lim_{x \to 5}\dfrac{\diagup\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!\!5)\cdot(x+5)}{\diagup\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!\!5)}\\\displaystyle\sf f'(5)= \lim_{x \to 5}x+5\\\sf f'(5)=5+5\\\sf f'(5)=10\end{array}}$