Question

Encontre a derivada de:

f(x)= (x^3-x+1)(x^-2+2x^-3)

Answer 1

Regra do produto: Y = f' (x) . G (x) + f (x) . G'(x) Derivada da 1° vezes a 2° + a 1° vezes a Derivada do 2°.

f(x) = (x³ -x +1) . ( x-² + 2x²)

y' = ( 3x² -1) . (x⁻² + 2x⁻³) + ( x³ - x + 1 ) . ( -2x⁻³ + 6x⁻⁴)  ----> faz-se distributiva
y' = 3 + 6x⁻¹ - x⁻² + 2x⁻³ - 2 + 6x⁻¹ + 2x⁻² - 6x⁻³ - 2x⁻³ + 6x⁻⁴ -->soma os termos de expo. iguais
y' = 6x⁻⁴ -6x⁻³ + x⁻² + 12x⁻¹ + 1 ---> organiza em ordem decrescente
y' = 6/x⁴ - 6/x³ + 1/x² + 12/x +1 ----> expo. negativo passa-o  p/ baixo

Answer 2

$f(x)=(x^3-x+1)*(x^{-2}+2x^{-3})$

fugindo da regra do produto rs...

sabendo que 
$a^{-2}= \frac{1}{a^2}$

vou usar isso para resolver o que está no segundo parenteses
$x^{-2}+2x^{-3}= \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

soma de frações 
multiplica-se os denominadores
depois multiplica o numerador do primeiro pelo denominador do segundo
e multiplica o numerador do segundo pelo denominador do primeiro
$\frac{1*x^3+2*x^2}{x^{(2+3)}} = \frac{x^3+2x^2}{x^5}$

colocando x² em evidencia no numerador para transformar em produto
$\frac{x^3+2x^2}{x^5} = \frac{x^2(x+2)}{x^5}$
agora temos uma divisão de potencias de mesma base 
mantem-se a base e subtrai os expoentes
$\frac{x^2(x+2)}{x^5} \\\\x^{{(2-5)}}*(x+2)\\\\x^{-3}*(x+2)\\\\\frac{x+2}{x^3}$

a função ficou 
$(x^3-x+1)*( \frac{x+2}{x^3} )$

fazendo essa multiplicação o denominador vai continuar sendo x^3

$(x*x^3)+(x*-x)+(x*1)+(2*x^3)+(2*-x)+(2*-1)\\\\x^4-x^2+x+2x^3-2x-2\\\\x^4+2x^3-x^2-x-2$

a função ficou

$f(x)= \frac{x^4+2x^3-x^2-x-2}{x^3}$

passando o denominador pra cima multiplicando e fazendo a multiplicação

$(x^4+2x^3-x^2-x-2)*x^{-3}\\\\x+2-x^{-1}-x^{-2}-2x^{-3}$

(multiplicação de potencias de mesma base..mantem a base e soma os expoentes
quando o exporte for 0 "todo numero elevado a 0 é = 1" )


derivando a como potencia
$f(x)= x+2-x^{-1}-x^{-2}-2x^{-3}\\\\f'(x)=1+x^{-2}+2x^{-3}+6x^{-4}$

está é a derivada 

reescrevendo a derivada  como fração 
$1+\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \frac{6}{x^4}$

agora fazendo a soma das frações de dois em dois para simplificar 
$1+ \frac{1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2}$


$\frac{x^2+1}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{(x^2+1)*x^3+2x^2}{x^5} = \frac{x^5+x^3+2x^2}{x^5}$

$\frac{x^5+x^3+2x^2}{x^5} + \frac{6}{x^4} = \frac{(x^5+x^3+2x^2)*x^4 +6x^5}{x^9} = \frac{x^{9}+x^{7}+2x^{6}+6x^5}{x^9}$

colocando x^5 em evidencia

$\frac{x^{9}+x^{7}+2x^{6}+6x^5}{x^9} = \frac{x^5*(x^4+x^2+2x+6)}{x^9}\\\\ =x^{(5-9)}*(x^4+x^2+2x+6)\\\\x^{-4}(x^4+x^2+2x+6)\\\\ \frac{(x^4+x^2+2x+6)}{x^4}$


$\boxed{\boxed{f'(x)=\frac{(x^4+x^2+2x+6)}{x^4}}}$