Question

Encontre a derivada da função por meio do PFC.


$f(x)=\displaystyle\int_{1}^{3x+2}\frac{1}{1+t^3}~dt$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

O TFC diz que se $F(x) = \displaystyle\int_{1}^{x}f(t)dt => F'(x) = f(x)$

Se considerarmos g(x) = 3x + 2, teríamos:

$\phi (x) =\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^3}~dt => g(x) = 3x+2$

Temos que pelo TFC que:

$\phi' (x) = \frac{1}{1+x^3}\\\\ g'(x) = 3$

Mas observe que:

$F(x) = \phi(g(x))\\\\F'(x) = \phi'(g(x)).g'(x)\\\\F'(x)=\frac{1}{1+(3x+2)^3}.3=\frac{3}{1+(3x+2)^3}$

Bons estudos!!!