Question

Encontre a derivada da função f(x)=x^4−5x^3+√x/x^2
De duas formas: usando a Regra do Quociente e simplificando antes. Mostre que suas respostas sao equivalentes. Qual metodo voce prefere?

Answer 1

A derivada da função de f(x) é f'(x) = 2x -5 -(3/2)$x^{-5/2}$

Derivada

A derivada de uma função representa a função de todos os ângulos das retas tangentes a cada ponto da função original. Para resolver esse exercício, teremos que lembrar duas derivadas especificas:

• Derivada de um polinômio: f(x) = $x^n$ ⇒ f'(x) = n.$x^{n-1}$
• Derivada de quociente: f(x) = h(x)/g(x) ⇒ f'(x) = (h'(x).g(x)-h(x).g'(x))/g²(x)

Primeiro, resolveremos essa questão pela simplificação, então, simplificando f(x), temos:

$f(x) = \frac{x^4-5x^3+\sqrt{x}}{x^2} \rightarrow f(x) =\frac{x^4}{x^2}-\frac{5x^3}{x^2}+\frac{\sqrt{x}}{x^2} \\f(x) = x^2 - 5x + x^{-3/2}$

Agora calculamos a sua derivada:

f'(x) = $2x - 5 -\frac{3}{2}x^{-5/2}$

Agora, utilizaremos a regra do quociente, então definimos h(x) e g(x) sendo:

h(x) = $x^4-5x^3+\sqrt{x}$

g(x) = $x^2$

Então, a sua derivada será:

f'(x) = $\frac{h'(x).g(x)-h(x).g'(x)}{g^2(x)} \rightarrow \frac{(4x^3-15x^2+1/2x^{-1/2}).x^2-(x^4-5x^3+x^{1/2}).2x}{x^4}$

f'(x) = $\frac{4x^5-15x^4+(1/2)x^{-3/2}-2x^5+10x^3-2x^{3/2}}{x^4} \rightarrow \frac{2x^5-5x^4+(3/2)x^{3/2}}{x^4}$

f'(x) = $\frac{2x^5}{x^4}-\frac{5x^4}{x^4}+\frac{(3/2)x^{-3/2}}{x^4}$

f'(x) = 2x -5 + (-3/2)$x^{-5/2}$

O método a ser escolhido é aquele que utiliza o menor esforço possível de quem o resolve, portanto, para esse caso, o método a se escolher é o da simplificação, pois, com ele, a resolução desse problema de derivada fica mais simples.

Para entender mais sobre derivada, acesse o link:

https://brainly.com.br/tarefa/38549705

Espero ter ajudado!

Bons estudos!

#SPJ1