Question

encontre a derivação da função.​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{ x+ 1}{x + 2} .(3x {}^{2} + 6x)$

Note que essa função trata-se de um produto entre duas funções, ou seja, devemos aplicar a regra do produto, dada por:

$\boxed{ \frac{d [f(x).g(x)] }{dx} = \frac{d}{dx} . [f(x)].g(x) + f(x).\frac{d}{dx} [g(x) ] }$

Aplicando essa tal regra:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right).(3x {}^{2} + 6x) + \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right) . \frac{d}{dx} (3x {}^{2} + 6x)$

A primeira derivada deve ser feita através da regra do quociente, já que trata-se de uma função racional, ou seja, divisão de funções:

$\boxed{ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{ \frac{d}{dx} [f(x)] .g(x) -f(x). \frac{d}{dx} [g(x)]}{ [g(x)] {}^{2} } }$

Aplicando essa regra acima:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right) = \frac{ \frac{d}{dx}( x + 1).(x + 2) - ( x + 1). \frac{d}{dx} (x + 2) }{(x + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right) = \frac{1.(x + 2) - (x + 1).1}{(x + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right) = \frac{x + 2 - x - 1}{(x + 2) {}^{2} } \\ \\ \boxed{ \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right) = \frac{1}{(x + 2) {}^{2} } }$

Substituindo essa derivada e continuando:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{(x + 2) {}^{2} } .(3x {}^{2} + 6x) + \left( \frac{x + 1}{x + 2} \right).(6x + 6) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 6x}{(x + 2) {}^{2} } + \frac{ 6x {}^{2} + 6x + 6x + 6 }{x + 2} \\ \\ \boxed{\frac{df(x)}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 6x}{(x + 2) {}^{2} } + \frac{6x {}^{2} + 12x + 6 }{x + 2}}$

Espero ter ajudado