Question

Encontre a área sobre o gráfico de y ​

Answer 1

Resposta:

y= 1 /4

Explicação passo-a-passo:

y= 1/ ( 1 + 1 ) ao quadrado

y= 1/ 2 ao quadrado

y= 1 /4

Answer 2

Temos a seguinte função:

$\sf y = \frac{1}{(x + 1) {}^{2} } , \: para \: x \geqslant 1$

Para calcular essa área, devemos usar o conceito de integral imprópria, onde ela parte do x = 1 e vai até o infinito, já que o intervalo informado é apenas [1,+∞[. Logo, essa integral terá o seguinte formato abaixo:

$\sf A = \sf \: \int \limits_{ a }^{ \infty }f(x)dx$

Substituindo os dados que possuímos:

$\sf A = \sf \: \int \limits_{ 1}^{ \infty } \frac{1}{(x + 1) {}^{2} } \: dx$

Lembrando que:

$\sf \: \int \limits_{ a}^{ \infty } \: f(x) \: dx = \lim_{b \to \infty } \sf \: \int \limits_{ a}^{b}f(x)dx$

Substituindo essa informação:

$\sf A =\lim_{b \to \infty } \sf \: \int \limits_{ 1}^{b} \frac{1}{(x + 1) {}^{2} } dx$

Para resolver essa integral, basta utilizar o método da substituição de variável:

$\sf u = x + 1 \: \: \to \: \: \frac{du}{dx } = 1 \: \to \: du = dx$

Substituindo esses dados:

$\sf A =\lim_{b \to \infty } \sf \: \int \limits_{ 1}^{b} \frac{1}{(u) {}^{2} } du \\ \sf A =\lim_{b \to \infty } \sf \: \int \limits_{ 1}^{b}u {}^{ - 2} du$

Resolvendo a integral:

$\sf \int u {}^{ - 2} du \: \to \: \: \frac{u {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} \: \to \: - \frac{1}{u} \\ \\ \sf - \frac{1}{x + 1}$

Lembrando que os limites de integração ainda não foram utilizados:

$\sf A =\lim_{b \to \infty } \sf \: \left[ - \frac{1}{x + 1} \right] \bigg|_{ 1}^{b} \\ \\ \sf A =\lim_{b \to \infty } - \frac{1}{b + 1} - \left ( - \frac{1}{1 + 1} \right) \\ \\ \sf A =\lim_{b \to \infty } - \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{2}$

Substituindo o valor a qual o b tende:

$\sf A = - \frac{1}{ \infty + 1} + \frac{1}{2}$

Dado que a divisão de um número pequeno por um número muito grande o resultado tende a 0, então temos:

$\sf A = - 0 + \frac{1}{2} \: \to \: \: \boxed{ \sf A = \frac{1}{2} u.a}$

Espero ter ajudado