Question

Encontre a área S, limitada pela curva y=x³+2x²-x-2 e a reta tangente a esta curva no ponto (-2, 0).
1. Encontrar a equação da tangente
2. Encontrar coordenada x do ponto de interceção P (ponto de encontro da curva com a reta que não seja a tangente onde x>0)
3. Encontrar a área S, limitada entre a curva e a tangente.

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$y = x {}^{3} + 2x^{2} - x - 2 \: \: \: e \: \: \: P(-2,0)$

A partir desses dados a questão pergunta:

• a) Qual a equação da reta tangente que passa pelo ponto P(-2,0).

Primeiro devemos encontrar o coeficiente angular dessa reta tangente, para isso usaremos a derivada que é justamente conhecida por ser o coeficiente angular da reta tangente:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{3} + 2x {}^{2} - x - 2) \\ \\ \frac{dy}{dx} = 3x {}^{2} + 4x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pelo ponto informado, sabemos que o valor de "x" será -2, então vamos substituir:

$\frac{dy}{dx} = 3.( - 2) {}^{2} + 4.( - 2) - 1 \\ \\ \frac{dy}{dx} = 12 - 9 \to \boxed{\frac{dy}{dx} = 3 } \: \: \: \:$

Por convenção, vamos trocar o dy/dx por m, já que ambas as coisas refletem o mesmo resultado que é o coeficiente angular. Após fazer isso devemos usar a equação fundamental da reta e os dados que fornecidos e obtidos:

$P(-2,0) \: \: e \: \: m = 3 \\ y - y _{0} = m.(x -y _{0}) \\ y - 0 = 3.(x - ( - 2)) \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ y = 3x + 6}}}$

Essa é a equação da reta tangente.

• b) Qual o ponto de interseçao da reta com a curva sem ser o ponto de tangência:

Para resolver esse item, basta igualar a equação da reta tangente e a curva, pois fazendo isso vamos descobrir todos os pontos em comum:

$y = x {}^{3} + 2x { }^{2} - x - 2 \: \: e \: \: y = 3x + 6 \\ x {}^{3} +2x {}^{2} - x - 2 = 3x + 6 \\ x {}^{3} + 2x {}^{2} - x - 3x - 2 - 6 = 0 \\ x {}^{3} + 2x {}^{2} - 4x - 8 = 0 \\ x {}^{2} .(x + 2) - 4.(x + 2) = 0 \\ (x + 2).(x {}^{2} - 4) = 0 \\ (x + 2).(x + 2).(x - 2) = 0 \\ (x + 2) {}^{2} .( x - 2) = 0$

Pelo anulamento de produto, temos que:

$(x + 2) {}^{2} = 0 \: \: e \: \: x - 2 = 0 \\ x + 2 = 0 \: \: e \: \: x - 2 = 0 \\ x = - 2 \: \: e \: \: x = 2$

Portanto esses são os pontos de interseçao da reta com a curva, pelo enunciado do item b) sabemos que o valor deve ser maior que 0 e também o ponto não pode ser o de tangência, logo o que sobra é x = 2, então a resposta é 2.

• Resposta x = 2
• c) Calcular a área entre a curva e a reta tangente:

Primeiro deve-se plotar o gráfico, recomendo que seja feito pelo aplicativo Geogebra. Após isso observa-se as funções, já que o cálculo da área por integral é dado por:

$A = \int_{a}^{b}f(x)dx$Como são duas funções, devemos fazer a subtração da função de baixo pela de cima, pelo gráfico nota-se claramente que a função de cima é a reta tangente e a de baixo a curva, então:

$A = \int_{a}^{b}3x + 6 - (x {}^{3} + 2x {}^{2} - x - 2) \: dx \\ \\ A = \int_{a}^{b}3x + 6 - x {}^{3} - 2x {}^{2} + x + 2\: dx \: \: \\ \\ A = \int_{a}^{b} - x {}^{3} - 2x {}^{2} + 4x + 8 \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

O intervalo [a,b] são justamente os pontos de interseçao, ou seja, o ponto de tangência e o ponto calculado anteriormente no item b.

$A = \int_{ - 2}^{2} - x {}^{3} - 2x {}^{2} + 4x + 8$

Integrando a função, temos que:

$A = \left[ - \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} - \frac{2x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{4x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \frac{8.x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \right] \bigg |_{ - 2}^{2} \\ \\ A = \left[ - \frac{x {}^{4} }{4} - \frac{2x {}^{3} }{3} + 2x {}^{2} + 8x\right] \bigg |_{ - 2}^{2}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$A = - \frac{ 2 {}^{4} }{4} - \frac{2.2 {}^{3} }{3} + 2.2 {}^{2} + 8.2 - \left( - \frac{( - 2) {}^{4} }{4} - \frac{2.( - 2) {}^{3} }{3} + 2.( - 2) {}^{2} + 8.( - 2) \right) \\ \\ A = - 4 - \frac{16}{3} + 8 + 16 - ( - 4 + \frac{16}{3} + 8 - 16) \\ \\ A = 20 - \frac{16}{3} + 12 - \frac{16}{3} \\ \\ A = 32- \frac{32}{3} \\ \\ A = \frac{96 - 32}{3} \\ \\ \boxed{ \boxed{A = \frac{64}{3} u.a }}$

Espero ter ajudado