Question

Encontre a área limitada pelas curvas y²=2x-2 e y=x-5

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{18~u.~a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área limitada pelas curvas $y^2=2x-2$ e $y=x-5$, devemos utilizar a integral.

Sabemos que se desejamos encontrar a área entre duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, devemos encontrar as suas interseções e integrar $f(x)-g(x)$ nesse intervalo.

Claro que devemos prestar atenção em qual função utilizamos como $f(x)$, que deve ter uma imagem maior neste intervalo.

No caso da questão, percebe-se que se trata de uma parábola com concavidade voltada para a direita e uma reta.

Assim, devemos encontrar os pontos de interseção igualando as funções

Substitua $y$ por $x-5$ em $y^2=2x-2$

$(x-5)^2=2x-2$

Expanda o binômio

$x^2-10x+25=2x-2$

Subtraia $2x-2$ de ambos os lados da equação

$x^2-10x+25-2x+2=0$

Some os termos semelhantes

$x^2-12x+27=0$

Fatore o polinômio

$(x-3)(x-9)=0$

As soluções para $x$ são:

$x_1=3$ e $x_2 =9$

Então, os valores em $y$ são

$y_1^2=2\cdot3-2=4\\\\\ y_1=\pm2$

e

$y_2=2\cdot9-2=16\\\\\\ y=\pm4$

Testamos as soluções na outra equação para encontrarmos os valores que satisfazem ambas

$y_1=3-5=-2$ e $y_2=9-5=4$

Então, integraremos as funções $y=x-5$ e $y^2=2x-2$ no intervalo $[-2,~4]$

Aqui, mudaremos a variável por conta da concavidade da parábola, a fim de utilizarmos este intervalo

Ficamos com

$x = y +5$ e $x=\dfrac{1}{2}\cdot(y^2+2)$

Logo, temos que inverter também como integraremos as funções

Faremos da direita para a esquerda

$\displaystyle{\int_{-2}^4y+5-\dfrac{1}{2}\cdot(y^2+2)\,dy}$

Multiplique os valores dentro dos parênteses efetuando a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_{-2}^4y+5-\dfrac{y^2}{2}-1\,dy}$

Some os termos

$\displaystyle{\int_{-2}^4 -\dfrac{y^2}{2}+y+4\,dy}$

Calcule a integral indefinida

$-\dfrac{y^3}{6} + \dfrac{y^2}{2}+4y~\biggr|_{-2}^{4}$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{4^3}{6}+\dfrac{4^2}{2}+4\cdot4-\left(-\dfrac{(-2)^3}{6}+\dfrac{(-2)^2}{2}+4\cdot(-2)\right)$

Calcule as potências e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$}-\dfrac{64}{6}+\dfrac{16}{2}+16-\dfrac{8}{6}-\dfrac{4}{2}+8$

Simplifique e some as frações

$-\dfrac{32}{3}+8+16-\dfrac{4}{3}-2+8\\\\\\\\-12+8+16-2+8\\\\\\\ 18$

A área limitada pelas curvas $y^2=2x-2$ e $y=x-5$ mede 18 u.a