Question

Encontre a área formada entre as funções y=2x-1 e y=x^2-11x+10​

Answer 1

Resposta:

Aproximadamente 232.8. Precisamente, é (625√5)/6.

Explicação passo-a-passo:

(Observação: ~= Significa "aproximadamente igual")

Seja f(x) = 2x - 1 e g(x) = x² - 11x + 10

Para encontrar a intersecção delas, basta igualar f(x) e g(x):

f(x) = g(x) ---> 2x - 1 = x² - 11x + 10 ---> x² - 13x + 11 = 0

Teremos então as seguintes raízes:

x1 = 13/2 - 5√(5)/2

x2 = 13/2 + 5√(5)/2

Que representam as abscissas dos pontos de intersecção. Portanto, a área formada entre elas se encontra entre essas duas abscissas.

Para encontrar a área, vamos pensar da seguinte maneira: podemos aproximar a área entre essas duas funções somando vários retângulos pequenos começando de x = x1 até x = x2, com altura f(x) - g(x) (pois f(x) é maior que g(x) no intervalo entre x1 e x2) e largura Δx.

Daí, a área de cada um desses retângulos será (f(x) - g(x)) * Δx e com isso, a área aproximada será a soma dessas áreas: Σ(f(x) - g(x)) * Δx.

Para Δx cada vez menores, melhor será a nossa aproximação. Portanto, pegaremos o limite quando Δx tende à 0 de (Σ(f(x) - g(x)) * Δx), que será equivalente à ∫(f(x) - g(x))dx, onde dx representa nosso Δx tendendo à 0 e ∫ a soma de parcelas infinitesimais (isto é, muito pequenas).

Com isto, teremos uma integral que deve ser avaliada de x1 até x2:

f(x) - g(x) = 2x - 1 - (x² - 11x + 10) = -x² + 13x - 11

∫(-x² + 13x + 9)dx = ∫(-x²)dx + ∫(13x)dx + ∫(-11)dx

Utilizando a regra da integral da potência, que diz que:

∫(x^a)dx = (x^(a + 1))/(a + 1)

teremos:

∫(-x²)dx + ∫(13x)dx + ∫(-11)dx = -x³/3 + 13x²/2 - 11x = I(x)

Com a integral indefinida encontrada, iremos avaliar ela de x1 até x2:

I(x2) - I(x1) = ?

I(x2) = I(13/2 + 5√(5)/2) ~= 228

I(x1) = I(13/2 - 5√(5)/2) ~= -4.8

---> I(x2) - I(x1) = 228 - -(4.8) = ~232.8

Esta é a área formada pelas funções. Note que no final foi utilizado calculadora pois os cálculos eram bem feios. Para obter a resposta exata, sem aproximações, calcular I(x2) e subtrair de I(x1).