Question

Encontre a area entre y=x^2-14 e y=4-x^2 ??

Answer 1

$\bullet\;\;$ Fórmula para cálculo de áreas entre gráficos de duas funções:

Dadas duas funções reais $f$ e $g$ integráveis em um intervalo $[a,\;b],$

com $f(x)\geq g(x),~~\text{para todo }x \in [a,\;b],$


a área entre os gráficos de $f$ e $g$ sobre o intervalo $[a,\;b]$ é dada por

$\boxed{\begin{array}{c} A=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{\left[f(x)-g(x) \right ]dx} \end{array}}$

_________________________________

Temos as seguintes funções

$f(x)=4-x^{2}~~\text{ e }~~g(x)=x^{2}-14$


Desejamos calcular a área entre os gráficos das duas funções.


$\bullet\;\;$ Encontrando os pontos de interseção entre os gráficos.

$f(x)=g(x)\\ \\ 4-x^{2}=x^{2}-14\\ \\ -x^{2}-x^{2}=-14-4\\ \\ -2x^{2}=-18\\ \\ x^{2}=\dfrac{-18}{-2}\\ \\ \\ x^{2}=9\\ \\ x=-3~~\text{ ou }~~x=3$


Logo, o intervalo de integração será $[-3,\;3].$


$\bullet\;\;$ Verificando qual função é maior:

Para $-3\leq x\leq 3,\;$ temos $f(x)\geq g(x).$

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$\bullet\;\;$ Portanto, a área entre os gráficos de $f$ e $g$ no intervalo $[-3,\;3]$ é

$A=\displaystyle\int\limits_{-3}^{3}{\left[f(x)-g(x)\right]dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-3}^{3}{\left[(4-x^{2})-(x^{2}-14) \right ]dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-3}^{3}{\left[4-x^{2}-x^{2}+14 \right ]dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-3}^{3}{\left(18-2x^{2} \right )dx}$

$=\left.\left(18x-\dfrac{2x^{3}}{3} \right )\right|_{-3}^{3}\\ \\ \\ =\left(18\cdot 3-\dfrac{2\cdot 3^{3}}{3} \right )-\left(18\cdot (-3)-\dfrac{2\cdot (-3)^{3}}{3} \right )\\ \\ \\ =\left(54-\dfrac{2\cdot 27}{3} \right )-\left(-54-\dfrac{2\cdot (-27)}{3} \right )\\ \\ \\ =\left(54-18 \right )-\left(-54+18 \right )\\ \\ =36-(-36)\\ \\ =36+36\\ \\ =72\mathrm{~u.a.}$