Question

Encontre a área entre as curvas:

 

$<var>y=sen(x)\ \ e\ \ y=cos(x),\ x=0\ \ a \ \ x=\frac{\pi}{2}</var>$

Answer 1

Olá, rareirin.

 

O ponto de intersecção entre as duas curvas é $<var>x=\frac{\pi}4,</var>$   pois   $<var>\sin\frac\pi{4}=\cos\frac\pi{4}=\frac{\sqrt2}2</var>$

 

Como se pode observar no gráfico das duas funções, em anexo, no intervalo   $<var>[0,\frac\pi{4}]</var>$,   $<var>\cos x \geq \sin x</var>$   e no intervalo   $<var>[\frac\pi{4},\frac\pi{2}]</var>$,   $<var>\sin x \geq \cos x</var>$   .

 

A área entre as curvas, portanto, é a integral da diferença entre a função de maior valor e a de menor valor nos intervalos   $<var>[0,\frac\pi{4}]</var>$   e   $<var>[\frac\pi{4},\frac\pi{2}]$   .

 

Portanto:

 

$<var>\'Area=\int\limits^\frac{\pi}{4}_0 {(\cos x-\sin x)}\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {(\sin x - \cos x)} \, dx=$

 

$=\int\limits^\frac{\pi}{4}_0 \cos x\, dx-\int\limits^\frac{\pi}{4}_0\sin x}\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} \sin x - \int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}\cos x \, dx=$

 

$=\sin x|^\frac{\pi}{4}_0-(-\cos x|^\frac{\pi}{4}_0)+(-\cos x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4})-\sin x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}=</var>$

 

$<var>=\sin\frac{\pi}{4}-\sin0-[-\cos\frac{\pi}{4}-(-\cos0)]+[-\cos\frac{\pi}{2}-(-\cos\frac{\pi}{4})]-\\(\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4})=\\\\ =\frac{\sqrt2}2-0-[-\frac{\sqrt2}2-(-1)]+[-0-(-\frac{\sqrt2}2)]-(1-\frac{\sqrt2}2)=\\\\ =\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2-1+\frac{\sqrt2}2-1+\frac{\sqrt2}2=\\\\ =4\frac{\sqrt2}2-2=2\sqrt2-2\\\\ \therefore \boxed{\'Area=2(\sqrt2-1)} </var>$

 

Answer 2

Resposta:O ponto de intersecção entre as duas curvas é    pois    

 Como se pode observar no gráfico das duas funções, em anexo, no intervalo   ,      e no intervalo   ,      .

 A área entre as curvas, portanto, é a integral da diferença entre a função de maior valor e a de menor valor nos intervalos      e      .