Question

Encontre a área delimitada pelas funções y=5x-x2 e y=x e descreva todo o processo. A imagem da área está representada na figura abaixo.

Answer 1

$\boxed{ \sf A = \frac{32}{3}\:u.a}$

Explicação

Para o cálculo da área entre estas funções, vamos utilizar a seguinte relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \bullet\sf \: \: A = \int\limits_{a}^{b}[f(x)-g(x)] dx$

Sendo a e b o intervalo em x em que a área em questão se estende, f(x) a função superior e g(x) a função inferior.

Analisando o gráfico da função, podemos ver que a função se estende desde x = 0 até x = 4. A função superior f(x) = 5x - x² e a função inferior g(x) = x. Substituindo os dados na relação:

$\sf A = \int\limits_{0}^{4}[5x - x {}^{2} - x ] dx \: \to \: \sf A = \int\limits_{0}^{4} [4x - x {}^{2} ]dx \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{4}4x \: dx - \int\limits_{0}^{4}x {}^{2} dx \: \: \to \: \: A = \left[ 2x {}^{2} - \frac{x {}^{3} }{3} \right] \bigg| _{0}^{4} \\ \\ \sf A = \left[ 2.4{}^{2} - \frac{4 {}^{3} }{3} \right] - \left[ 2.0 {}^{2} - \frac{0{}^{3} }{3} \right] \: \: \to \: \: A = \left[32 - \frac{64}{3} \right] \\ \\ \sf A = \frac{32.3 - 64}{1.3} \: \: \to \: \: A = \frac{96 - 64}{3} \: \: \to \: \: \boxed{\sf A = \frac{32}{3} \: u.a }$

Espero ter ajudado