Question

Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3.

Answer 1

Temos a seguinte equação de rosácea:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf r = 3cos(3 \theta) \: \: \bullet$

Esta equação está na forma polar, em coordenadas cartesianas seria dada por:

$\boxed{\sf \frac{x}{cos \left(arctg \left( \frac{y}{x} \right) \right)} = 3.cos \left(3arctg \left( \frac{y}{x} \right) \right)}$

Note que se fossemos calcular a área de uma pétala desta rosácea na forma de coordenadas cartesianas seria bem complicado, portanto, vamos manter em coordenadas polares.

Para o cálculo da área, devemos ultilizar a integral dupla em coordenadas polares.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf A = \int\int_{C}f(x,y)d A}$

Nesse momento é necessário que encontremos os limites de integração, são eles a variação do r e a variação do ângulo.

• Variação do "r":

Plotando o gráfico desta função, podemos ver que a variação de "r" é dada desde 0 até a função que representa a rosácea, isto é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf 0 \leqslant r \leqslant 3cos(3 \theta)$

• Variação do ângulo:

Ainda analisando o gráfico, vemos que a rosácea em questão possui 3 pétalas. Escolhendo a pétala que se encontra no primeiro e o quarto quadrante, temos que o ângulo de variação da mesma é dada por:

$\sf - \frac{\pi}{2} \leqslant 3 \theta \leqslant \frac{\pi}{2} \: \: \to \: \: - \frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}$

Portanto esta é a variação do ângulo, mas para facilitar o cálculo, basta observar que cada rosácea possui uma área no primeiro quadrante igual a área do quarto, portanto podemos calcular uma área só e multiplicar por 2, sendo que o limite passa a ser de 0 até π/2 ou -π/2 até 0. Montando a integral temos que:

$\sf polar \: \to \:dA = rdrd \theta\: \\ \sf\sf A = 2\int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } \int_{0}^{3cos(3 \theta)} rdrd \theta$

Agora basta calcular a integral normalmente. Primeiro vamos fazer a interna:

$\sf \int_{0}^{3cos(3 \theta)} rdr \: \to = \frac{r {}^{2} }{2} \bigg | _{0}^{3cos(3 \theta)} \\ \\ \sf \left( \frac{(3cos(3 \theta)) {}^{2} }{2} \right) - 0 = \boxed{\sf \frac{9cos {}^{2}(3 \theta) }{2} }$

Substituindo esse resultado na outra integral:

$\sf \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } \frac{9cos {}^{2} ( 3 \theta)}{2} \: \: \to \: \: \frac{9}{2} \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } cos {}^{2} (3 \theta)d \theta \\ \\ \sf\frac{9}{2} \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } \left( \frac{1 + cos(6 \theta)}{2} \right)d \theta \: \: \to \: \: \frac{9}{2} \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } \frac{1}{2} .(1 + cos(6 \theta))d \theta \\ \\ \sf \frac{9}{4} \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } (1 + cos(6 \theta))d \theta \: \: \to \: \: \frac{9}{4} \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } 1d \theta + \frac{9}{4} \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } cos(6 \theta)d \theta \\ \\ \sf \frac{9}{4} . \theta\bigg | _{0}^{ \frac{\pi}{6} } + \frac{9}{4} . \frac{sen(6 \theta)}{6} \bigg | _{0}^{ \frac{\pi}{6} } \: \: \to \: \: \boxed{\sf \frac{9\pi}{24} }$

Por fim, basta multiplicar este resultado por 2 que ainda falta das integrais:

$\sf \frac{9\pi}{24} .(2) \: \: \to \: \: \frac{18\pi}{24} \: \: \to \: \: \boxed{\sf\frac{3\pi}{4} \: u.a}$

Espero ter ajudado