Question

Encontre a área da regiões limitadas pelas curvas: y=x^2-2x+1; y=x^2+2x+1 e y=x^2-1​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf \begin{cases} \sf y = x {}^{2} - 2x + 1 \\ \sf y = x {}^{2} + 2x + 1 \\ \sf y = x {}^{2} - 1 \end{cases}$

A primeira coisa que devemos fazer é montar os gráficos de cada uma dessas funções. (O gráfico estará anexado na questão). Observe que entre as intersecções dessas funções formou-se uma area, para calcular essa tal área vamos usar o artifício chamado INTEGRAL. Vamos dividir essa tal área em duas partes, pois facilita a nossa vida.

→ Primeiro vamos calcular A(1):

Temos que encontrar as intersecções entre essas duas funções, então devemos igualá-las e resolver, a fim de encontrar os pontos comuns:

$\sf x {}^{2} + 2x + 1 = x {}^{2} - 1 \: \: \: \\ \sf x {}^{2} - x {}^{2} + 2x = - 1 - 1 \\ \sf 2 x= - 2 \\ \sf x = \frac{ - 2}{ 2} \\ \boxed{ \boxed { \sf x = - 1}}$

Note essa área A1 é delimitada pelo valor x = -1 e vai até x = 0 que é a origem do plano cartesiano, logo nossa integral terá uma cara mais ou menos assim:

$\sf A_1 = \int_{ - 1}^{ 0}[ f(x) - g(x)] dx$

As subtração das funções será dada pela função de cima subtraída da função de baixo, então:

$\sf A_1 = \int_{ - 1}^{0}\begin{array}{c|c} \end{array}(x {}^{2} + 2x + 1 - x {}^{2} + 1)dx \\ \\ \sf A_1 = \int_{ - 1}^{ 0}( 2x + 2)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Devemos aplicar a regra da potência, dada por:

$\boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando:

$\sf A_1 = x {}^{2} + 2x\begin{array}{c|c}& \sf 0\\ \\ & \sf - 1 \end{array} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A_1 = ( 0) {}^{2} + 2.( 0) - ( - 1 ) {}^{2} - 2.( - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A_1 = 0 + 0 - 1 + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\boxed{ \sf A_1 = 1 \: u.a}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

→ Agora vamos calcular A2:

Essa área dará-se pela mesma lógica do cálculo, acima e por esse motivo farei o cálculo mais rápido sem as mesmas explicações.

• Interseção:

$\sf x {}^{2} - 2x + 1 = x {}^{2} - 1 \: \: \: \: \\ \sf x {}^{2} - x {}^{2} - 2x = - 1 - 1 \\ \sf - 2x = - 2 \\ \sf x = \frac{ - 2}{ - 2} \\ \boxed{\boxed{\sf x = 1}}$

• Integral:

$\sf A_2 = \sf \int_{0}^{1}(x {}^{2} - 2x + 1 - x {}^{2} + 1)dx \\ \\ \sf A_2 = \sf \int_{0}^{1}( - 2x + 2)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Integrando e encontrando o resultado:

$\sf A_2 = - x {}^{2} + 2x\begin{array}{c|c}& \sf1 \\ \\ \sf&0 \end{array} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A_2 = - (1) {}^{2} + 2.(1) + (0) {}^{2} - 2.0 \\ \sf A_2 = - 1 + 2 + 0 - 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \boxed{\sf A_2 = 1 \: u.a}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Somando as áreas encontradas:

$\sf A_1 + A_2 = 1 + 1 = \boxed{\boxed{\sf2 \: \: u.a}}$

Espero ter ajudado