Question

encontre a area da região no plano limitada pela curva r=2-cosθ (simétrico ao eixo polar)

Answer 1

r = 2 - cos(θ)
r > 0, posi cos(θ) ∈[-1,1] para todo θ ∈ IR

Como a equação é simétrica no eixo Ox, esboçamos o gráfico variando θ no intervalo [0,π]. Como cos(θ) decresce no intervalo [0,π], r cresce.

Tomemos, então, alguns pontos  e seus respectivos simétricos, para traçar o gráfico. Veja o arquivo anexo.

$\int\limits^{2 \pi }_0 {(2-cos(\theta)} \, d\theta\\ \int\limits^{2 \pi }_0 { \frac{1}{2}(2-cos(\theta)^2 } \, d\theta\\ \int\limits^{2 \pi }_0 {(4-4cos(\theta)+cos^2\theta)} \, d\theta\\ \frac{1}{2} \int{4} \, d\theta + \int4cos(\theta) \, d\theta + \int cos^2\theta \, d\theta \\ \int\limits^{2 \pi }_0 { \frac{1}{2}(2-cos(\theta) )^2} \, d\theta \\ \frac{9 \pi }{2} -0 = \frac{9 \pi }{2}$