Matemática, perguntado por brunoscarso97, 3 meses atrás

Encontre a área da região limitada por f(x)=x³–2x²–5x+6 no intervalo [–2, 3].

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível confirmar que a área da região limitada sob a curva é igual a 125/12 u.a.

Integral definida:

Uma integral definida é um caso da integral usada para determinar o valor das áreas limitadas por um gráfico dentro de um intervalo do eixo horizontal.

Por definição, uma integral definida é definida da seguinte forma: Dada uma função de uma variável real x e um intervalo [a,b] da reta real, a integral é igual à área da região do plano xy limitada por o gráfico de f , o eixo x e as linhas verticais x=a e x=b, onde as áreas abaixo do eixo x são negativas.

Para calcular a área sob a curva de alguma função f(x) vamos usar a integração definida da forma:

$\displaystyle \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\int ^b _ a f(x)$

Então, se levarmos em conta o uso da integral definida para este problema, podemos encontrar sua solução.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema nos pede para encontrar a área limitada pela função f(x) = x³–2x²–5x+6 definirá entre os intervalos [–2, 3].

Para aplicar a integral indefinida devemos levar em conta como são definidos os intervalos onde vamos para a integral, para identificar os intervalos a e b você deve levar em conta que o intervalo a é sempre menor que o intervalo b e se tomarmos isso em consideração podemos ver que - 2 é nosso intervalo a pois é menor que 3, ou seja, nosso intervalo b, se substituirmos o valor de nossa função e nossos intervalos na expressão que temos na integral definida, obtemos:

$\displaystyle \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\int ^3 _ {-2} x^3- 2x^2 - 5 x +6$

Essa integral é imediata, pois bastará aplicar algumas regras que já existem para você. Para nossa primeira etapa, vamos aplicar a regra da adição, isso nos permite separar a integral de uma soma ou subtração de funções que é muito difícil de integrar a integrais muito simples.

$\displaystyle \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\int ^3 _ {-2} x^3- \int ^3 _ {-2} 2x^2 -\int ^3 _ {-2} 5 x +\int ^3 _ {-2} 6$

Para resolver essas 4 integrais podemos aplicar duas regras ou propriedades diferentes, para as três primeiras integrais podemos aplicar a regra da potência, esta consiste em somar 1 ao expoente e dividir pela base e a outra regra não tem nome mas consiste que a integral de um número "n" é igual a "n" por a variável em relação à qual estamos integrando.

Se fizermos tudo isso teremos:

$\displaystyle \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\left|\dfrac{x^{3+1}}{3+1}-\dfrac{2x^{2+1}}{2+1} -\dfrac{5x^{1+1}}{1+1}+ 6x\right|^3 _{-2}\\\\ \displaystyle \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\left|\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{2x^{3}}{3} -\dfrac{5x^{2}}{2}+ 6x\right|^3 _{-2}$

Uma vez realizada a integral, devemos avaliar os valores de "x" após ser integral ou indefinidamente em seus limites de integração, se fizermos isso, obteremos:

$\displaystyle \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\left[ \dfrac{3^{4}}{4}-\dfrac{2(3)^{3}}{3} -\dfrac{5(3)^{2}}{2}+ 6(3)\right]-\left[ \dfrac{-2^{4}}{4}-\dfrac{2(-2)^{3}}{3} -\dfrac{5(-2)^{2}}{2}+ 6(-2)\right]\\\\\boxed{\boxed{ \sf \textsf{\'Area~da} ~regi\tilde{a}o =\dfrac{125}{12} u.a} }$

Feitos os cálculos acabamos de concluir que o valor da região limitada é igual a 125/12 u.a.

Imagem anexada na integral, só tome cuidado para comparar o resultado que está aí com o meu já que esse resultado da imagem não leva em consideração nenhuma casa decimal.

Se você quiser ver mais sobre o assunto do região limitada, você pode ver os seguintes links a seguir: