Question

Encontre a área da região delimitada pelas curvas: y = x²− 4x e y = 2x − x²

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{9~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a área da região delimitada pelas curvas, utilizaremos integrais.

Sejam as curvas $y=x^2-4x$ e $y=2x-x^2$.

Devemos encontrar seus pontos de intersecção, que nos servirão como limites de integração. Para isso, igualamos as funções:

$x^2-4x=2x-x^2$

Subtraia $2x-x^2$ em ambos os lados da equação

$2x^2-6x=0$

Esta é uma equação quadrática incompleta. Podemos fatorá-la da seguinte forma:

$2x(x-3)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero. Assim, temos as soluções:

$2x=0~~~\mathtt{ou}~~~x-3=0$

Calcule os valores

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x=3$

Assim, os limites de integração desta região será definido no intervalo $[0,~3]$.

A integral definida para o cálculo da área de duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, em um dado intervalo $[a,~b]$, tal que em todo o intervalo $f(x)\geq g(x)$, é dada por: $\displaystyle{\int_a^bf(x)-g(x)\,dx$.

Analisando o comportamento destas funções neste intervalo, vemos que $2x-x^2\geq x^2-4x$. Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^32x-x^2-(x^2-4x)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_0^36x-2x^2\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A integral definia de uma função contínua em um intervalo $[a,~b]$ é, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$3x^2-\dfrac{2x^3}{3}~\biggr|_0^3$

Aplique os limites de integração

$3\cdot3^2-\dfrac{2\cdot3^3}{3}-\left(3\cdot0^2-\dfrac{2\cdot0^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$27-18$

Some as frações

$9$

Esta é a área da região delimitada pelas curvas.