Question

encontre a area da regiao compreendida entre o gráfico e o eixo x no correspondente. y = 2x + 2 no intervalo [0,2]​

Answer 1

Resposta:

8

Explicação passo-a-passo:

A função $y = 2x + 2$ está representada pela reta em verde.

Para o intervalo em $x$ de $[0,2]$:

$x = 0$ temos $y = 2$ (ponto A)

$x = 2$ temos $y = 6$ (ponto B)

A região que a reta faz nesse intervalo com o eixo x é um trapézio cuja área é:

$A = (b1 + b2)*\frac{h}{2}$

Logo,

$A = (2+6)*\frac{2}{2} \\A = 8$

Answer 2

Já que o meu consagrado resolveu através da área de um trapézio, resolverei através de integração.

• Raíz:

Primeiro encontre a raiz da função y = 2x + 2, pois é essa raiz que nos guiará para a montagem do gráfico.

• Gráfico:

A questão fala de uma região compreendida entre o eixo "x" e a função f(x), portanto deverá ser aquele "mini triângulo" formado entre a reta da função e o eixo "x", então essa será a nossa região.

• Limitantes:

A questão nos fornece os limitantes, são eles os numero [0 e 2], portanto nossa integral irá variar de 0 a 2.

• Função:

A função da integral será dada pela única função que possuímos, ou seja, 2x + 2.

$\sf \int\limits_{0}^{2} (2x + 2)dx$

• Integrando a função:

Para realizar a integração, devemos usar a integral imediata:

$\boxed {\sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf\int\limits_{0}^{2} ( 2x + 2)dx = \sf\int\limits_{0}^{2} 2x {}^{1} \: dx +\sf\int\limits_{0}^{2} 2x {}^{0} dx = \\ \sf \sf\int\limits_{0}^{2} (2x + 2)dx = \sf\int\limits_{0}^{2} \frac{2x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \sf\int\limits_{0}^{2} \frac{2x {}^{0 + 1} }{0 + 1} = \\ \sf \sf\int\limits_{0}^{2} (2x + 2)dx = \sf\int\limits_{0}^{2} \frac{2x {}^{2} }{2} + \sf\int\limits_{0}^{2} \frac{2x}{1} = \\ \sf \sf\int\limits_{0}^{2} (2x + 2) dx = \boxed{\sf\int\limits_{0}^{2} \sf x {}^{2} + 2x}$

Essa será a função de fato que usaremos pra encontrar a área.

• Área:

Para finalizar, você deve aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \sf\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \sf lembrando \: que: f(b) - f(a) = \bigg|_{a}^{b}$

Aplicando:

$\sf \sf\int\limits_{2}^{0} x {}^{2} + 2x = x {}^{2} + 2x \: \bigg|_{2}^{0} = \\ \sf (2{}^{2} + 2.2) - (0 {}^{2} + 2.0) = \\ \sf (4 + 4) - (0 + 0) = \\ \sf (8) - 0 = \boxed{\sf8u.a}$

Espero ter ajudado