Question

Encontre a área da curva y= 1/x limitada por y=x, x=2

Answer 1

Primeiramente é necessário plotarmos um único gráfico com essas três funções. Fazendo isso obtemos como área uma espécie de triângulo (como mostrado na imagem anexada). Após plotar o gráfico, vamos partir para os pontos de interseção das funções, para isso devemos igualar cada uma delas.

• Interseção das funções $y = x\: e\: x = 2$

Essa interseção é bem simples, pois basta substituir o valor de x na outra função:

$y = x, \: \text{mas }\: x = 2 \\ y = 2, \: \text{logo} \: \cap = (2,2)$

• Interseção das funções $y = \frac{1}{x} \:e \:y = x$

Essa interseção também é bem simples, pois basta substituir no local de y, o x, ou vice versa:

$y = \frac{1}{x} , \: \text{mas }\: y = x \\ x = \frac{1}{x} \: \to \: x {}^{2} = 1 \: \to \: x = \sqrt{1} \: \to \: x = \pm1 \\ \cap = (1,1)$

Não vamos considerar a interseção (-1,-1), já que estamos trabalhando no primeiro quadrante.

• Interseção das funções $x = 2\: e \:y = \frac{1}{x}$

Mais uma vez, basta fazermos a substituição:

$y = \frac{1}{x} , \: \text{ mas }\: x = 2 \\ y = \frac{1}{2} , \: \text{logo} \: \cap = \left(2, \frac{1}{2} \right)$

Observando esses valores e o gráfico, podemos ver que a área formada vai desde 1 até 2, portanto esses são os limites de integração da integral que iremos montar. Agora em relação a função que representa a área, temos que fazer a função de cima pela função de baixo. Pelo gráfico podemos ver que a função de cima é y = x e a função de baixo é x = 2. Logo:

$A = \int\limits_{1}^{2}x - \frac{1}{x} \: dx \: \to \: A = \int\limits_{1}^{2} x \: dx - \int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\\ \\ A = \frac{x {}^{2} }{2} - \ln( |x| ) \bigg |_{1}^{2 }$

Agora vamos aplicar o Teorema fundamental do cálculo, ou seja, substituir os limites:

$A = \frac{2 {}^{2} }{2} - \ln( |2| ) - \left( \frac{1 {}^{2} }{2} - \ln( |1| ) \right) \\ \\ A = 2 - \ln(2) - \frac{1}{2} + \cancel{ \ln(1)} {}^{0} \\ \\ A = \frac{4 - 1}{2} - \ln(2) \\ \\ \boxed{A = \frac{3}{2} - \ln(2)}$

Espero ter ajudado