Question

Encontre a área da barragem, região limitada pelos gráficos das curvas de
equações e o eixo das abscissas. Para as funções:

Answer 1

Para calcular áreas abaixo de curvas, utilizamos a integral definida. Neste caso temos três funções e podemos dividir esta área em três regiões. Note que a primeira área está abaixo do gráfico da função y = 2e^x - 2, a segunda área está abaixo da reta y = 10 e a terceira área está abaixo do gráfico da função y = (x-10)², portanto, podemos calcular esta área através da soma de 3 integrais.

Os limites de integração serão os pontos dados na figura, ou seja, a primeira área tem limites de 0 a 1,79, a segunda de 1,79 a 6,84 e a terceira de 6,84 a 10. Sabendo disso, temos:

$A=\int\limits^{1,79}_0 {2e^x-2} \, dx +\int\limits^{6,84}_{1,79} {10} \, dx +\int\limits^{10}_{6,84} {(x-10)^2} \, dx$

Resolvendo uma a uma, tem-se:

$\int\limits^{1,79}_0 {2e^x-2} \, dx=2e^x-2x|^{1,79}_0=2e^{1,79}-2*1,79-(2e^0-2*0)=6,4\\\\\\\int\limits^{6,84}_{1,79} {10} \, dx=10x|^{6,84}_{1,79}=10(6,84-1,79)=50,5\\\\\\\int\limits^{10}_{6,84} {(x-10)^2} \, dx=\frac{x^3}{3}-10x^2+100x|^{10}_{6,84}=\frac{10^3}{3}-10*10^2+100*10-(\frac{6,84^3}{3}-10*6,84^2+100*6,84)=10,5$

Portanto, a área é:

A = 6,4 + 50,5 + 10,5

A = 67,4 u.m.²