Question

Encontre a 1000° derivada

Answer 1

Resposta: $f^{(1000)}(x) = e^x(1000 + x)$

Explicação passo-a-passo:

Vamos calcular algumas derivadas da função e procurar por algum padrão. Vamos utilizar a regra do produto: $f \cdot g = f'g + g'f$.

$f(x) = xe^x \implies f'(x) = 1 \cdot e^x + e^xx \implies f'(x) = e^x(1 + x)$

$f'(x) = e^x(x+1) \implies f''(x) = e^x (1+x) + 1 \cdot e^x \implies f''(x) = e^x(2 + x)$

$f'''(x) = e^x(2+x) + e^x \implies f'''(x) = e^x(3 + x)$

Então uma boa hipótese é que a n-ésima derivada de f seria $f^{(n)} = e^x(n + x)$, logo, para $n = 1000, f^{(1000)} = e^x(1000 + x)$.

Podemos verificar por indução. Provamos o caso base, agora suponha que uma k-ésima derivada, com $k \geq 1$, seja $f^{(k)} = e^x(k + x)$ e vamos mostrar que vale para k + 1. Derivando:

$f^{(k+1)} = [e^x(k+x)]' \implies f^{(k+1)} = e^x(k+x) + e^x \cdot 1$

$f^{(k+1)} = e^x(k+x+1) \implies f^{(k+1)} = e^x(k+1 + x)$

Logo, a expressão é válida por indução para todo n natural, em particular, para n = 1000.