Question

Encontre 0 ≤ x ≤ $\frac{\pi}{2}$ tal que: $\left \{ {{tan~x~=\sqrt{2}-1} \atop {tan~(3x)~=\sqrt{2}+1}} \right.$

Answer 1

Vamos usar a fórmula da tangente de uma diferença.

$\mathsf{tg(\alpha-\beta)=\dfrac{tg\,\alpha-tg\,\beta}{1+tg\,\alpha\cdot tg\,\beta}}$

com $\mathsf{\alpha,\,\beta,\,\alpha-\beta\ne (2k+1)\dfrac{\pi}{2},}$ e k inteiro.

Como os valores conhecidos são conjugados, podemos escrever convenientemente tg(2x) como

$\mathsf{tg(2x)=tg(3x-x)}\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{tg(3x)-tg(x)}{1+tg(3x)\cdot tg(x)}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)}{1+(\sqrt{2}+1)\cdot (\sqrt{2}-1)}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{1+\big[(\sqrt{2})^2-1^2\big]}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{2}{1+2-1}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{2}{2}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=1}\\\\ \mathsf{tg(2x)=tg\Big(\dfrac{\pi}{4}}\Big)$

Como 0 ≤ x ≤ π/2, temos então que 0 ≤ 2x ≤ π. Dessa forma, a única possibilidade para 2x é

$\mathsf{2x=\dfrac{\pi}{4}}$

e portanto,

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{8}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)