Question

Encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série. Somatório n=1 até ao infinito (ln raiz de n+1 - ln raiz de n)

Answer 1

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\mathsf{\big[\,ln\,\sqrt{k+1}-ln\,\sqrt{k}\,\big]}$

Queremos uma expressão para a n-ésima soma parcial dessa série

A n-ésima soma parcial da série será dada por

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\mathsf{\big[\,ln\,\sqrt{k+1}-ln\,\sqrt{k}\,\big]}$

Vamos expandir o somatório:

$\mathsf{S_{n}=\big[ln\,\sqrt{2}-ln\,\sqrt{1}\big]+\big[ln\,\sqrt{3}-ln\,\sqrt{2}\big]+[ln\,\sqrt{4}-ln\,\sqrt{3}]+...+=}\\\mathsf{~~\,~+\big[ln\,\sqrt{n})-ln\,\sqrt{n-1}\big]+\big[ln\,\sqrt{n+1}-ln\,\sqrt{n}\big]}$

Podemos perceber que há cancelamento de todos os termos, exceto dos termos $\mathsf{-ln\,\sqrt{1}}$ e $\mathsf{ln\,\sqrt{n+1}}$

Portanto,

$\mathsf{S_{n}=ln\,\sqrt{n+1}-ln\,\sqrt{1}}\\\\\mathsf{S_{n}=ln\,\sqrt{n+1}-ln\,1}\\\\\mathsf{S_{n}=ln\,\sqrt{n+1}-0}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{S_{n}=ln\,\sqrt{n+1}}}}$


OBS: Num caso geral, se $f(\cdot)$ é uma função, então

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=x_{0}}^{n}\big[f(k+1)-f(k)\big]=f(n+1)-f(x_{0})}$

Essa soma é chamada de soma telescópica.