Matemática, perguntado por diaspir, 7 meses atrás

Encontrar um número racional entre 3,14 e 3,15

Soluções para a tarefa

Respondido por bynnamaria28
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NÚMEROS IRRACIONAIS

O conjunto dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser representados como frações. Em algumas situações, o conjunto dos números racionais não era suficiente para a resolução de problemas, foi quando se percebeu a existência dos números irracionais, como as raízes não exatas, as dízimas não periódicas, o π, entre outros.

Explicação passo-a-passo:

Em geral, nós dizemos que todo número escrito da forma é um número racional, sendo que p e q são números inteiros e q ≠ 0. Observe que pode ser positivo ou negativo, já que p e q são inteiros.

Mas o que os números decimais têm a ver com tudo isso?

Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos uma fração do tipo , nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5. Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas para representar um mesmo número racional. Vamos ver alguns exemplos de números inteiros expressos como decimais:

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3 = 0,75

4

– 17 = – 8,5

2

100 = – 12,5

– 8

12 = 2,4

5

Curiosidade: A letra foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão. Como já foi dito, toda fração é uma divisão.

E os números naturais e inteiros são racionais também?

Tanto os números naturais quanto os números inteiros podem ser classificados como números racionais, pois cada um deles pode ser expresso como uma fração. Vejamos alguns exemplos:

20 = 5

4

– 100 = – 10

10

27 = – 3

–9

10 = 2

5

Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais () e o conjunto dos números inteiros () pertencem ao conjunto dos números racionais ().

Dízimas periódicas e Fração Geratriz

Existe uma classe especial de números racionais que é composta pelas dízimas periódicas — números decimais infinitos que são resultados de divisões inexatas. Por exemplo, dada a fração , se dividirmos seu numerador 1 pelo denominador 3, obteremos o quociente 0,333333.... Observe que o número 3 repete-se infinitamente, portanto esse quociente pode ser chamado de dízima periódica e a fração que lhe deu origem recebe o nome de fração geratriz.

Vejamos exemplos de outras dízimas periódicas e suas respectivas frações geratrizes:

15 = 1,6666...

9

– 12 = – 0,148148148...

81

7 = 0,0388888...

180

5 = – 0,185185185...

–27

3 = 0,75

4

– 17 = – 8,5

2

100 = – 12,5

– 8

12 = 2,4

5

Curiosidade: A letra foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão. Como já foi dito, toda fração é uma divisão.

E os números naturais e inteiros são racionais também?

Tanto os números naturais quanto os números inteiros podem ser classificados como números racionais, pois cada um deles pode ser expresso como uma fração. Vejamos alguns exemplos:

20 = 5

4

– 100 = – 10

10

27 = – 3

–9

10 = 2

5

Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais () e o conjunto dos números inteiros () pertencem ao conjunto dos números racionais ().

Dízimas periódicas e Fração Geratriz

Existe uma classe especial de números racionais que é composta pelas dízimas periódicas — números decimais infinitos que são resultados de divisões inexatas. Por exemplo, dada a fração , se dividirmos seu numerador 1 pelo denominador 3, obteremos o quociente 0,333333.... Observe que o número 3 repete-se infinitamente, portanto esse quociente pode ser chamado de dízima periódica e a fração que lhe deu origem recebe o nome de fração geratriz.

Vejamos exemplos de outras dízimas periódicas e suas respectivas frações geratrizes:

15 = 1,6666...

9

– 12 = – 0,148148148...

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7 = 0,0388888...

180

5 = – 0,185185185...

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