Question

Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada por y² = 16x e y = 4x.

Answer 1

Para a primeira função f(x), temos:

$\mathsf{f(x): y^2=16x}$

     $\mathsf{x=\dfrac{1}{16}\ y^2}$

     $\mathsf{y= \sqrt{16x}}$


Obs: Fiz a segunda manipulação para ter ideia de como é o gráfico dessa função. Ele é igual ao gráfico de y = x² / 16 porém deitado.


Para a segunda função g(x), temos simplesmente uma função do primeiro grau:

$\mathsf{g(x): y=4x}$

     $\mathsf{x= \dfrac{1}{4}\ y}$

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Para descobrir aonde as funções se interceptam, vamos igualar as duas pelo valor de "x":

     $\mathsf{\dfrac{1}{16}\ y^2=\dfrac{1}{4}\ y}$

     $\mathsf{\dfrac{y^2}{4}=y}$

     $\mathsf{\dfrac{y}{4}=1}$

     $\mathsf{y=4}$

A primeira interceptação é em y = 0 e a segunda interceptação é em y=4;


Para descobrir a coordenada "x" das interceptações basta substituir os valores encontrados em uma das duas funções

Para y = 0, temos:

     $\mathsf{y=4x}$

     $\mathsf{0=4x}$

     $\mathsf{x=0}$


Para y = 4, temos;

     $\mathsf{y=4x}$

     $\mathsf{4=4x}$

     $\mathsf{x=1}$

Com isso podemos montar o gráfico. Por favor, vá até o final da resposta e o veja quando ler isso.

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Na figura espacial, depois de feita a rotação, temos:

  •   $\mathsf{r_i}$: raio interno;

  •   $\mathsf{r_e}$: raio externo;

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Depois que o sólido for rotacionado, a área do disco que o compõe internamente será dada por:

     $\mathsf{A=\pi~r_{e}^2-\pi~r_{i}^2}$

     $\mathsf{A(x)=\pi~( \sqrt{16x})^2-\pi~(4x)^2}$

     $\mathsf{A(x)=\pi~(16x-16x^2)}$

     $\mathsf{A(x)=16\pi~(x-x^2)}$


Pelo Método das Cascas Cilíndricas, podemos integrar a função que estabelece o valor da área da calca interna que obteremos o volume do sólido.

     $\mathsf{V=\displaystyle \int \limits_0^1A(x)\cdot dx}$

     $\mathsf{V=\displaystyle \int \limits_0^116\pi\cdot (x-x^2)\cdot dx}$

     $\mathsf{V=16\pi\cdot \displaystyle \int \limits_0^1(x-x^2)\cdot dx}$

     $\mathsf{V=\left16\pi\cdot \left(\dfrac{\ x^2}{2}-\dfrac{\ x^3}{3}\right)\ \right|_0^1}$

     $\mathsf{V=16\pi\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)-0}$

     $\mathsf{V=16\pi\cdot \dfrac{1}{6}}$

     $\begin{array}{c}\boxed{\mathsf{V=\dfrac{8\pi}{3}\ u.v.}}\end{array}$


Bons estudos! :-)