Question

Encontrar o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada por f(x) = x²-4, x = -2, x = 2 e y = 0, gira em torno da reta y = -3. A região que vai girar é essa que fica entre o eixo x e a parte negativa da curva. Observe que existem duas regiões que vão girar, pois o eixo de revolução divide a região em duas partes. Quando chegar na integral definida que define o volume, não precisa continuar o desenvolvimento.

Answer 1

Resposta: $V=36\pi\ -\ 2{\pi\int\limits^2_1 {(x^{2}-1)^{2}} \, dx$  u.v.

Explicação passo-a-passo:

Rebeca, estou aqui mais uma vez tentando te ajudar kk. A questão pede o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região descrita no enunciado, em torno da reta y = -3. Segue em anexo três imagens que retratarão melhor o que será dito aqui. Dei uma pensada e acredito que o sólido de revolução gerado é um cilindro (cujo volume é trivialmente calculado) subtraído do duplo volume de dois pseudo-cones. Os dois sólidos que assemelham-se a um cone são obtidos a partir da rotação de um arco da parábola x² - 4, definido de x = 1 a x = 2, em torno de y = - 3. É claramente perceptível que não existe problema algum em construirmos uma outra parábola, sendo esta de equação x² - 1, pois assim ficará mais fácil calcular o volume do sólido obtido a partir da rotação da área sob a curva x² - 1, também delimitada de x = 1 a x = 2 e em torno do eixo das abscissas. Não demonstrarei, porém é simples provar que os volumes descritos acima são iguais * . O cilindro terá raio R do círculo-base igual à distância entre as retas y = 0 e y = - 3, ou seja, R tem valor igual a 3 u.c. Já a sua altura h medirá tanto quanto for a distância entre x = - 2 e x = 2, logo h = 2 - (- 2) = 4 u.c Para calcular o volume do pseudocone situado no lado direito, que por sua vez equivale ao do lado esquerdo (perfeita simetria), vamos utilizar a fórmula necessária ** para o cálculo do volume de um sólido de revolução, onde o eixo de rotação é a reta y = 0 (rotação em torno do eixo Ox). Neste caso, tal fórmula encontra-se explicitamente multiplicada por dois, devido à simetria das duas figuras planas geradoras dos falsos cones. Os volumes iguais a que me refiro em * são os volumes dos pseudo-cones obtidos a partir da rotação de quatro pseudo-triângulos retângulos (explícitos na imagem), sendo dois deles em torno da reta y = - 3 e os outros dois em torno do próprio eixo Ox. Portanto, o volume V do sólido é dado por:

$V = \pi R^{2}h-2{\pi\int\limits^2_1 {{[f(x)]^2 \, dx\ ^*^*$

Lembrando que, assim como foi dito acima, usaremos f(x) = x² - 1. Substituindo as informações restantes em seu devido lugar, temos que o volume V pedido será:

$V = \pi 3^{2}4-2\pi\int\limits^2_1 {{(x^{2}-1)^{2}} \, dx$  

⇒

$V=36\pi\ -\ 2\pi\int\limits^2_1 {(x^{2}-1)^{2}} \, dx$  u.v.

Abraços![tex][/tex]