Encontrar o f'(0) para:
AJUDA URGENTE
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Olá
Formulário para responder esses itens:
Derivada de polinômios:
y = xⁿ
y' = n.xⁿ⁻¹
Regra do produto
(f.g)' = f'.g + f.g'
Regra da cadeia
y = u
y' = u.u'
Derivadas trigonométricas:
(senx)' = cosx
(cosx) ' = - senx
(tgx) ' = sec²x
Funções trigonométricas no ponto x=0
sen(0) = 0
cos(0) = 1
sec(0) = 1
sec²(0) = 1
_________________________________________________
A)
f(x) = x⁴.cos²(x) + tg(x)
Deriva
f'(x) = 3x⁴.cos²(x) + x⁴2cos(x).(-senx) + sec²(x)
Simplifica
f'(x) = 3x⁴.cos²(x) - 2x⁴cos(x).sen(x) + sec²(x)
f'(0) = 3(0)⁴.cos²(0) - 2(0)².cos(0).sen(0) + sec²(0)
f'(0) = 0 - 0 + 1
f'(0) = 1 ← RESPOSTA
B)
f(x) = cos²(x).sen²(x)
Deriva
f'(x) = 2cos(x).(-sen(x)).sen²(x) + cos²(x).2sen(x).cos(x)
Simplifica
f'(x) = -2sen(x).cos(x).sen²(x) + 2cos²(x).sen(x).cos(x)
colocando 2cos(x).sen(x) em evidencia
f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ -sen²(x) + cos²(x)]
Pela identidade trigonométrica:
sen²(x) + cos²(x) = 1
logo
-sen²(x) = cos²(x) - 1
substitui
f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ cos²(x) - 1 + cos²(x) ]
f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ 2cos²(x) - 1 ]
f'(0) = 2cos(0).sen(0). [2cos²(0) - 1]
f'(0) = 0.[ 2-1 ]
f'(0) = 0 ← RESPOSTA
Outra forma de simplificar a expressão derivada era utilizando de uma identidade trigonométrica que diz que:
2cos(x).sen(x) = sen(2x)
Na expressão
-2sen(x).cos(x).sen²(x) + 2sen(x).cos(x).cos²(x)
Aplicando a identidade, a expressão fica:
-sen(2x)sen²(x) + sen(2x).cos²(x)
colocando o sen(2x) em evidência:
sen(2x).[ cos²(x) - sen²(x)]
Outra identidade trigonométrica:
cos²(x) - sen²(x) = cos(2x)
Substitui na expressão
sen(2x).cos(2x)
As duas são equivalentes, mas, se você não tiver uma boa base de trigonometria, é melhor o primeiro método de simplificação.
Obs: não era necessário simplificar para substituir o ponto x = 0 , fiz apenas para demonstração.
Formulário para responder esses itens:
Derivada de polinômios:
y = xⁿ
y' = n.xⁿ⁻¹
Regra do produto
(f.g)' = f'.g + f.g'
Regra da cadeia
y = u
y' = u.u'
Derivadas trigonométricas:
(senx)' = cosx
(cosx) ' = - senx
(tgx) ' = sec²x
Funções trigonométricas no ponto x=0
sen(0) = 0
cos(0) = 1
sec(0) = 1
sec²(0) = 1
_________________________________________________
A)
f(x) = x⁴.cos²(x) + tg(x)
Deriva
f'(x) = 3x⁴.cos²(x) + x⁴2cos(x).(-senx) + sec²(x)
Simplifica
f'(x) = 3x⁴.cos²(x) - 2x⁴cos(x).sen(x) + sec²(x)
f'(0) = 3(0)⁴.cos²(0) - 2(0)².cos(0).sen(0) + sec²(0)
f'(0) = 0 - 0 + 1
f'(0) = 1 ← RESPOSTA
B)
f(x) = cos²(x).sen²(x)
Deriva
f'(x) = 2cos(x).(-sen(x)).sen²(x) + cos²(x).2sen(x).cos(x)
Simplifica
f'(x) = -2sen(x).cos(x).sen²(x) + 2cos²(x).sen(x).cos(x)
colocando 2cos(x).sen(x) em evidencia
f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ -sen²(x) + cos²(x)]
Pela identidade trigonométrica:
sen²(x) + cos²(x) = 1
logo
-sen²(x) = cos²(x) - 1
substitui
f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ cos²(x) - 1 + cos²(x) ]
f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ 2cos²(x) - 1 ]
f'(0) = 2cos(0).sen(0). [2cos²(0) - 1]
f'(0) = 0.[ 2-1 ]
f'(0) = 0 ← RESPOSTA
Outra forma de simplificar a expressão derivada era utilizando de uma identidade trigonométrica que diz que:
2cos(x).sen(x) = sen(2x)
Na expressão
-2sen(x).cos(x).sen²(x) + 2sen(x).cos(x).cos²(x)
Aplicando a identidade, a expressão fica:
-sen(2x)sen²(x) + sen(2x).cos²(x)
colocando o sen(2x) em evidência:
sen(2x).[ cos²(x) - sen²(x)]
Outra identidade trigonométrica:
cos²(x) - sen²(x) = cos(2x)
Substitui na expressão
sen(2x).cos(2x)
As duas são equivalentes, mas, se você não tiver uma boa base de trigonometria, é melhor o primeiro método de simplificação.
Obs: não era necessário simplificar para substituir o ponto x = 0 , fiz apenas para demonstração.
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