Question

Encontrar o f'(0) para:
$a) f (x) = x^{4} cos^{2} x + tg x b) f(x)= cos^{2} (x) sen^{2} (x)$

AJUDA URGENTE

Answer 1

Olá



Formulário para responder esses itens:


Derivada de polinômios:

y = xⁿ
y' = n.xⁿ⁻¹


Regra do produto

(f.g)' = f'.g + f.g'


Regra da cadeia

y = u
y' = u.u'


Derivadas trigonométricas:

(senx)' = cosx
(cosx) ' = - senx
(tgx) ' = sec²x


Funções trigonométricas no ponto x=0

sen(0) = 0
cos(0) = 1
sec(0) = 1
sec²(0) = 1



_________________________________________________


A)

f(x) = x⁴.cos²(x) + tg(x)

Deriva

f'(x) = 3x⁴.cos²(x) + x⁴2cos(x).(-senx) + sec²(x)


Simplifica

f'(x) = 3x⁴.cos²(x) - 2x⁴cos(x).sen(x) + sec²(x)

f'(0) = 3(0)⁴.cos²(0) - 2(0)².cos(0).sen(0) + sec²(0)

f'(0) = 0 - 0 + 1

f'(0) = 1                                ←          RESPOSTA



B)


f(x) = cos²(x).sen²(x)

Deriva

f'(x) = 2cos(x).(-sen(x)).sen²(x) + cos²(x).2sen(x).cos(x)


Simplifica

f'(x) = -2sen(x).cos(x).sen²(x) + 2cos²(x).sen(x).cos(x)


colocando 2cos(x).sen(x) em evidencia


f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ -sen²(x) + cos²(x)]


Pela identidade trigonométrica:

sen²(x) + cos²(x) = 1
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-sen²(x) = cos²(x) - 1

substitui


f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ cos²(x) - 1 + cos²(x) ]

f'(x) = 2cos(x).sen(x).[ 2cos²(x) - 1 ]

f'(0) = 2cos(0).sen(0). [2cos²(0) - 1]

f'(0) = 0.[ 2-1 ]

f'(0) = 0                                ←          RESPOSTA






Outra forma de simplificar a expressão derivada era utilizando de uma identidade trigonométrica que diz que:

2cos(x).sen(x) = sen(2x)


Na expressão

-2sen(x).cos(x).sen²(x) + 2sen(x).cos(x).cos²(x)


Aplicando a identidade, a expressão fica:

-sen(2x)sen²(x) + sen(2x).cos²(x)

colocando o sen(2x) em evidência:

sen(2x).[ cos²(x) - sen²(x)]


Outra identidade trigonométrica:

cos²(x) - sen²(x) = cos(2x)


Substitui na expressão


sen(2x).cos(2x)




As duas são equivalentes, mas, se você não tiver uma boa base de trigonometria, é melhor o primeiro método de simplificação.







Obs: não era necessário simplificar para substituir o ponto x = 0 , fiz apenas para demonstração.