Question

Encontrar equações paramétrica da reta interseção dos planos:

$\pi$ 1 : 2X+Y-4=0 e $\pi$ 2 : Z=5

Por favor agradeço quem me ajudar.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Planos:

$\pi _{1}=2x+y-4=0$

$\pi _{2} =z=5$

Vetor normal em relação ao plano $\pi _{1}$ :

$\vec{\mathbf{v}}_{1}=(2, 1, 0)$

Vetor normal em relação ao plano$\pi_{2}$ :

$\vec{\mathbf{v}}_{1}=(0, 0, 1)$

Agora vamos encontrar um vetor diretor da reta de interseção ente os planos, fazendo o produto entre os vetores que nos fizemos agora e os normais:

$\vec{\mathbf{v}}=\vec{\mathbf{v}}_{1} x \vec{\mathbf{v}}_{1}$

$\vec{\mathbf{v}}=det\left[\begin{array}{ccc}\vec{\mathbf{i}}&\vec{\mathbf{j}}&\vec{\mathbf{k}}\\2&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

$\vec{\mathbf{v}}=-([0.1.\vec{\mathbf{k}}]+[0.0.\vec{\mathbf{i}}]+[1.2.\vec{\mathbf{j}}])+[1.1.\vec{\mathbf{i}}]+[0.0.\vec{\mathbf{j}}]+[0.2.\vec{\mathbf{k}}]=\vec{\mathbf{i}}-2\vec{\mathbf{j}}+0\vec{\mathbf{k}}$

$\vec{\mathbf{v}}=(1, -2, 0)$

Agora vamos encontrar um ponto nesta reta, definindo x=0, na equação do plano $\pi_{1}$:

2.0+y=4  y=4 x=0 z=5

Uma equação para a reta procurada é a equação da reta que passa pelo ponto (0,4,5) e possui a direção do vetor: $\vec{\mathbf{v}}$.

r : X=P+$\lambda\vec{\mathbf{v}}$

r : (x,y,z)=(0,4,5)+$\lambda$.(1,-2,0)

$r:\left\{ \begin{array}{l} x=\lambda\\ y=4-2\lambda\\ z=5 \end{array} \right.$