Question

encontrar as possiveis raizes do polinomio 2x^3+x^2+x-1

Answer 1

Antes de mais nada vamos relembrar um produtor notável que será importantes para resolver isso :

1) diferença dos cubos de dois termos :

$\displaytyle a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ a.b+b^2)$

Queremos encontrar as possíveis raízes do polinômio :

$\displaystyle 2x^3+x^2+x-1 = 0$

A ideia vai ser enxergar o cubo notável.

$\displaystyle x^3+x^3+x^2+x-1 = 0$

$x^3+x^2+x + x^3-1 = 0$

Perceba que podemos colocar o x em evidência nos 3 primeiros termos e nos dois últimos apareceu o produto notável a³-b³, sendo : a = x e b = 1

$x.(x^2+x+1) +(x-1).(x^2+x.1+1) =0$

agora da para colocar o (x²+x+1) em evidência

$(x^2+x+1).(x+x-1) = 0$

$(x^2+x+1).(2x-1) = 0$

igualando cada parênteses a 0 :

$\displaystyle 2x-1=0 \to \fbox{\displaystyle x=\frac{1}{2} }$

$\displaystyle x^2+x+1 = 0 \to x = \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4.1.1}}{2} \to \fbox{\displaystyle x = \frac{-1\pm3i}{2} }$