Encontrar a solução geral da equação:
dy/dx - 2y/x = 3xy²
Resposta: y = 4x^2/(k - 3x^4)
Soluções para a tarefa
Respondido por
3
Es una ecuación diferencial de Bernoulli
para ello hagamos elo siguiente cambio de variable
![z=y^{1-2}\to y=z^{-1}\to dy =-z^{-2}dz z=y^{1-2}\to y=z^{-1}\to dy =-z^{-2}dz](https://tex.z-dn.net/?f=z%3Dy%5E%7B1-2%7D%5Cto+y%3Dz%5E%7B-1%7D%5Cto+dy+%3D-z%5E%7B-2%7Ddz)
entonces tenemos
![-\dfrac{z^{-2}dz}{dx}-\dfrac{2z^{-1}}{x}=3xz^{-2}\\ \\
\dfrac{dz}{dx}+\dfrac{2z}{x}=-3x -\dfrac{z^{-2}dz}{dx}-\dfrac{2z^{-1}}{x}=3xz^{-2}\\ \\
\dfrac{dz}{dx}+\dfrac{2z}{x}=-3x](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cdfrac%7Bz%5E%7B-2%7Ddz%7D%7Bdx%7D-%5Cdfrac%7B2z%5E%7B-1%7D%7D%7Bx%7D%3D3xz%5E%7B-2%7D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cdfrac%7Bdz%7D%7Bdx%7D%2B%5Cdfrac%7B2z%7D%7Bx%7D%3D-3x)
busquemos el factor integrante FI
![\displaystyle
FI=\exp \int \dfrac{2}{x}dx\\ \\
FI=\exp (2\ln x}\\ \\
FI=x^2 \displaystyle
FI=\exp \int \dfrac{2}{x}dx\\ \\
FI=\exp (2\ln x}\\ \\
FI=x^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0AFI%3D%5Cexp+%5Cint+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7Ddx%5C%5C+%5C%5C%0AFI%3D%5Cexp+%282%5Cln+x%7D%5C%5C+%5C%5C%0AFI%3Dx%5E2)
Por ende debemos resolver:
![x^2\dfrac{dz}{dx}+2xz=-3x^3\\ \\
(x^2z)'=-3x^3\\ \\
x^2z=-\dfrac{3x^4}{4}+C_1\\ \\
z=\dfrac{4C_1-3x^4}{4x^2}\\ \\
y=z^{-1}\\ \\
y=\dfrac{4x^2}{4C_1-3x^4}\\ \\\\
\boxed{y=\dfrac{4x^2}{K-3x^4}} x^2\dfrac{dz}{dx}+2xz=-3x^3\\ \\
(x^2z)'=-3x^3\\ \\
x^2z=-\dfrac{3x^4}{4}+C_1\\ \\
z=\dfrac{4C_1-3x^4}{4x^2}\\ \\
y=z^{-1}\\ \\
y=\dfrac{4x^2}{4C_1-3x^4}\\ \\\\
\boxed{y=\dfrac{4x^2}{K-3x^4}}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%5Cdfrac%7Bdz%7D%7Bdx%7D%2B2xz%3D-3x%5E3%5C%5C+%5C%5C%0A%28x%5E2z%29%27%3D-3x%5E3%5C%5C+%5C%5C%0Ax%5E2z%3D-%5Cdfrac%7B3x%5E4%7D%7B4%7D%2BC_1%5C%5C+%5C%5C%0Az%3D%5Cdfrac%7B4C_1-3x%5E4%7D%7B4x%5E2%7D%5C%5C+%5C%5C%0Ay%3Dz%5E%7B-1%7D%5C%5C+%5C%5C%0Ay%3D%5Cdfrac%7B4x%5E2%7D%7B4C_1-3x%5E4%7D%5C%5C+%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7By%3D%5Cdfrac%7B4x%5E2%7D%7BK-3x%5E4%7D%7D)
para ello hagamos elo siguiente cambio de variable
entonces tenemos
busquemos el factor integrante FI
Por ende debemos resolver:
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