Question

Encontrar a reta m’ simétrica de m:

{x = 3-2t
{y = 1-t
{z = 1

em relação a reta n:

{x = s
{y = -4-2s
{z = 1-3s

Observação: já constatei que essas retas são reversas.

Answer 1

Resposta: m’:

x = 2/5 - 2k, k é real

y = - 24/5 - k, k é real

z = 4 + 0k = 4

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, sabe-se do produto misto que as retas são reversas. O vetor diretor da reta m é u = (- 2, - 1, 0) e o da reta n é dado por v = (1, - 2, - 3), logo o produto escalar de u por v (produto interno) é:

u • v = (- 2, - 1, 0) • (1, - 2, - 3)  =>

u • v = (- 2)(1) + (- 1)(- 2) + 0(- 3)  =>

u • v = - 2 + 2 + 0  =>

u • v = 0  e  u • v = |u||v|cos(a), com |u||v| não nulo  =>

cos(a) = 0  e  0 <= * a <= pi (a é o ângulo entre u e v) =>

a = pi/2  

Logo, os vetores diretores u e v são ortogonais. Conhecida a ortogonalidade deles e o fato das retas serem reversas, temos que as retas m e n também são ortogonais (ortogonais e não perpendiculares, pois são reversas). Por simetria, a reta m’ é paralela a m, com isso o vetor u = (- 2, - 1, 0) é também diretor de m’. Na tentativa de encontrar um ponto que esteja na reta m’, pegaremos um ponto arbitrário de cada uma das retas m e n e forçaremos a ortogonalidade entre o vetor resultante desses pontos e os vetores u e v. As coordenadas x, y e z de um ponto qualquer da reta m satisfaz as seguintes condições:

x = 3 - 2t, t é real

y = 1 - t, t é real

z = 1

Da reta n:

x = s, s é real

y = - 4 - 2s, s é real

z = 1 - 3s, s é real

Logo, o vetor resultante a partir desses pontos arbitrários será:

w = [(3 - 2t) - s, (1 - t) - (- 4 - 2s), 1 - (1 - 3s)]  =>

w = (3 - 2t - s, 5 - t + 2s, 3s)

E foi dito que w é ortogonal a u e também a v. Logo:

w • u = 0  =>

(3 - 2t - s, 5 + 2s - t, 3s) • (- 2, - 1, 0)  =>

(- 2)(3 - 2t - s) + (- 1)(5 + 2s - t) + 0(3s)  =>

2s + 4t - 6 + t - 2s - 5 + 0 = 0  =>

5t - 11 + 2s - 2s = 0  =>

5t = 11  =>

t = 11/5  (i)

e

w • v = 0  =>

(3 - 2t - s, 5 + 2s - t, 3s) • (1, - 2, - 3) = 0  =>

3 - 2t - s + (- 2)(5 + 2s - t) + 3s(- 3) = 0  =>

3 - 2t - s + 2t - 4s - 10 - 9s = 0  =>

- 14s - 7 + 2t - 2t = 0  =>

- 14s = 7  =>

s = - 1/2  (ii)

Substituindo (i) e (ii) nas equações das retas m e n, respectivamente, temos:

— Para a reta m

x = 3 - 22/5 = 15/5 - 22/5 = - 7/5

y = 1 - 11/5 = 5/5 - 11/5 = - 6/5

z = 1

Acarretando o ponto A(- 7/5, - 6/5, 1).

— Para a reta n

x = - 1/2

y = - 3

z = 1 + 3/2 = 2/2 + 3/2 = 5/2

Acarretando o ponto M(- 1/2, - 3, 5/2).

Por simetria, sabe-se que o ponto M(- 1/2, - 3, 5/2) é médio do segmento de reta AB, cujas extremidades são os ponto A(- 7/5, - 6/5, 1) e B(x, y, z). O ponto B(x, y, z) é o ponto da reta m’, ou seja, é o ponto procurado. Portanto, basta utilizar a fórmula do ponto médio para o espaço cartesiano de três dimensões. Assim sendo, obteremos:

(x - 7/5)/2 = - 1/2  =>

x - 7/5 = - 1  =>

x = 7/5 - 5/5 = 2/5

—  — — —

(y - 6/5)/2 = - 3  =>

y - 6/5 = - 6  =>

y = 6/5 - 30/5  =>

y = - 24/5

— — — —

(z + 1)/2 = 5/2  =>

z + 1 = 5  =>

z = 4

A partir dos cálculos acima, conclui-se que o ponto B é B(2/5, - 24/5, 4). Também sabemos que a reta m’ passa por ele e tem vetor diretor igual a u = (- 2, - 1, 0). Logo, suas equações paramétricas serão:

m’:

x = 2/5 - 2k, k é real

y = - 24/5 - k, k é real

z = 4 + 0k = 4

* O símbolo “<=” lê-se: “menor ou igual”.

Abraços!