Question

Encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial da série 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 ... + 2/3^n-1

Answer 1

Visualizando cada parcela da soma como o termo de uma sequência, temos que

$\mathsf{a_{k}=\dfrac{2}{3^{k-1}},\,k\ge1}$

Logo, queremos encontrar uma forma fechada para

$\mathsf{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3^{k-1}}}$

Manipulando o somatório:

$\mathsf{S_{n}=\displaystyle2\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{3^{k-1}}=2\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1^{k-1}}{3^{k-1}}=2\sum_{k=1}^{n}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^{k-1}}$

Note que temos a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica no somatório da direita, e sabemos que, se $\mathsf{b_{n}}$ é uma progressão geométrica com razão q, então a soma dos seus n primeiros termos é dada por

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k=1}^{n}b_{k}=b_{1}\cdot\dfrac{1-q^{n}}{1-q}}$

Nesse caso, a progressão aritmética é $\mathsf{c_{k}=\big(\frac{1}{3}\big)^{k-1}}$ tem primeiro termo $\mathsf{c_{1}=\big(\frac{1}{3}\big)^{1-1}=\big(\frac{1}{3}\big)^{0}=1}$ e razão $\mathsf{q=\frac{c_{k+1}}{c_{k}}=\frac{1}{3}}$

Então,

$\mathsf{S_{n}=2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{k-1}=2\cdot\bigg[c_{1}\cdot\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\bigg]}\\\\\\\mathsf{S_{n}=2\cdot1\cdot\dfrac{1-\big(\frac{1}{3}\big)^{n}}{1-\big(\frac{1}{3}\big)}}\\\\\\\mathsf{S_{n}=2\cdot\dfrac{1-\big(\frac{1}{3}\big)^{n}}{\big(\frac{2}{3}\big)}}\\\\\\\mathsf{S_{n}=2\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\bigg[1-\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^{n}\bigg]}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{S_{n}=3\cdot\bigg[1-\dfrac{1}{3^{n}}\bigg]}}}$
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Observação: A sequência $\mathsf{a_{k}=\dfrac{2}{3^{k-1}}=2\cdot\dfrac{1}{3^{k-1}}=2\cdot\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^{k-1}}$ também é uma progressão aritmética com primeiro termo $\mathsf{a_{1}=2\cdot\big(\frac{1}{3}\big)^{0}=2}$ e razão $\mathsf{q=\frac{1}{3}}$. Daí podíamos ter usado a fórmula direto para essa sequência

$\mathsf{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\cdot\dfrac{1-q^{n}}{1-q}=2\cdot\dfrac{1-\big(\frac{1}{3}\big)^{n}}{1-\big(\frac{1}{3}\big)}=...=3\cdot\bigg[1-\dfrac{1}{3^{n}}\bigg]}$