Question

encontrar a equaçao da reta tangente a curva y= x³-1,que seja perpendicular a reta y =-x

Answer 1

Usando um conhecimento la da geometria analítica onde diz:

Se tivermos duas retas perpendiculares entre si, então o produto do coeficiente das retas vale "-1"



$m_{1} * m_{2} = -1$ com $m \neq 0$

Analizando a reta Y = -x

Concluimos que $m_{1}$ = -1

Por tanto a reta tangente a curva Y = x³-1 tera:

$\\ m_{1} * m_{2} = -1 \\ \\ -1*m_{2} =-1 \\ \\ m_{2} =1$

Sabemos que, o coeficiente de inclinação da reta tengente a curva sera:


$Y'(xo) = m_{2}$


Vamos achar o Y' que é a derivada da curva Y=x³-1

Y = x³-1

Y' = 3x²

Igualando a derivada com a inclinação teremos:


$\\ m_{2} = 3x^2 \\ \\ 1=3x^2 \\ \\ x^2 =\frac{1}{3} \\ \\ x= \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{3} } \\ \\ x = \frac{ \sqrt{3} }{3}$



Acahmos o valor de "xo"

Vamos substituir na função para obter o valor de "Yo"



$\\ Y= x^3-1 \\ \\ Y= (\frac{ \sqrt{3} }{3} )^3-1 \\ \\ Y= \frac{ \sqrt{27} }{27} -1 \\ \\ Y= \frac{ \sqrt{9*3} }{27} -1 \\ \\ Y=3* \frac{ \sqrt{3} }{27} -1 \\ \\ Y= \frac{ \sqrt{3} }{9} -1$

Agora só montarmos a equação:

Formula:

Y - yo  = m(X-xo)

Yo e Xo são os pontos. M é a inclinação:

$\\ Y-( \frac{ \sqrt{3} }{9} -1)=1*(X- \frac{ \sqrt{3} }{3} ) \\ \\ Y- \frac{ \sqrt{3} }{9} +1=X- \frac{ \sqrt{3} }{3}$


$\\ 9Y - \sqrt{3} +9=9X -3 \sqrt{3} \\ \\ 9Y = 9x -2 \sqrt{3} -9 \\ \\ Y = X -2 \frac{ \sqrt{3} }{9} -1$