Question

Encontrar a equação da reta tangente à curva $y=x^{2} -8x+9$, que seja perpendicular a reta $y=\frac{1}{2} x$.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiro encontra a inclinação da reta tangente à curva

y=x²-8x+9 => y'= 2x-8 (regra da potência)

Sabemos que a inclinação da reta tangente à curva é 2x-8

Queremos também encontrar a reta que é perpendicular à $y= \frac{x}{2}$.

Ou seja, quando duas retas são perpendicular, o produto entre os coeficientes angulares deve ser -1.

Por exemplo

$y=3x \ e \ y= \frac{-x}{3}$ são perpendiculares, pois $3*\frac{-1}{3}= -1$

Então.:

$\frac{1}{2}*(2x-8)=-1 \ fazendo \ distributiva\\\\\frac{2x}{2}-\frac{8}{2}=-1\\x-4=-1\\x=-1+4\\x=3$

Sabemos então, que a reta tangenta à curvay =x²-8x+9  que é perpendicular à reta y$=\frac{1}{2}x$ é quando x=3.

Vamos calcular a y(3) =3^2-8*3+9 = -6

Agora encontramos a reta tangente à curva em x=3

$y-y_0=m(x-x_0)\\y_0=-6\\x_0= 3\\\\y-(-6)= (2*3-8)(x-3)\\y+6=-2(x-3)\\y+6=-2x+6\\y=-2x+6-6\\y=-2x$