Question

Encontrar a derivada de: f(x) = (3x^2-2x)/(x+2)

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a derivada da seguinte função:

$f(x)=\dfrac{3x^2-2x}{x+2}$

Diferenciando ambos os lados da igualdade, temos:

$f'(x)=\left(\dfrac{3x^2-2x}{x+2}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função racional $\dfrac{f(x)}{g(x)},~g(x)\neq0$ é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que $(f(x) + g(x))'=f'(x)+g'(x)$ e $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(3x^2-2x)'\cdot (x+2)-(3x^2-2x)\cdot (x+2)'}{(x+2)^2}$

Aplique a linearidade

$f'(x)=\dfrac{[(3x^2)'+(-2x)']\cdot (x+2)-(3x^2-2x)\cdot [(x)'+(2)']}{(x+2)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{[3\cdot(x^2)'-2\cdot(x)']\cdot (x+2)-(3x^2-2x)\cdot [(x)'+(2)']}{(x+2)^2}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x^{2-1}-2\cdot1\cdot x^{1-1}]\cdot(x+2)-(3x^2-2x)\cdot[1\cdot x^{1-1}+0]}{(x+2)^2}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos. Lembre-se que $x^0=1,~x\neq0$.

$f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x^{1}-2\cdot1\cdot x^{0}]\cdot(x+2)-(3x^2-2x)\cdot[1\cdot x^{0}+0]}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x-2\cdot1\cdot 1]\cdot(x+2)-(3x^2-2x)\cdot1}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[6x-2]\cdot(x+2)-3x^2+2x}{(x+2)^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$f'(x)=\dfrac{6x^2+12x-2x-4-3x^2+2x}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{3x^2+12x-4}{x^2+4x+4}~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.