Question

encontrar a área delimitada pelas curvas y = x² - 3 e y = 1.

Answer 1

Primeiro calculamos as intersecções entre as duas curvas:

${x}^{2} - 3 = 1$
$x = ±2$

Pela definição de área entre duas curvas, temos que:
Podemos chamar a primeira equação de f(x) e a segunda equação de g(x):

$\int_{-2}^{2} g(x)-f(x)\,dx$

$\int_{-2}^{2} (1)-({x}^{2}-3)\,dx$

$\int_{-2}^{2} 4-{x}^{2}\,dx=\frac{32}{3}≈10.67$

Answer 2

Olá!

     Perceba que as curvas em questão são uma parábola transladada 3 unidades para baixo (em relação à parábola   $y=x^2$  ) e a reta horizontal cortando o eixo   $y$   em    $y=1.$  Ou seja, a área em questão é a compreendida abaixo da reta horizontal e acima da parábola.

    Sejam   $A_1$   a área sob a reta, e   $A_2$   a área determinada pela parábola. Veja no arquivo anexo, os gráficos de ambas as curvas no mesmo plano cartesiano e note que devemos calcular a área   $A_1$  e   subtrair a área   $A_2$  no referido intervalo. 

     Vejamos as interseções:


$x^2-3=1\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\;\pm 2.$

   
      Logo, a área será   $A_1-A_2$   no intervalo   $[-2,2]$, que é dada por

$A_1-A_2=\displaystyle \int_{-2}^21-(x^2-3)dx=\int_{-2}^2-x^2+4dx=\\ \\ = \left(-\dfrac{x^3}{3}+4x\right)\Bigg{|}_{-2}^{2}=\left[\left(-\dfrac{2^3}{3}+4\cdot 2\right)-\left(-\dfrac{(-2)^3}{3}+4\cdot (-2)\right)\right]=\\ \\ \\ = \left(\dfrac{-8+24}{3}\right)-\left(\dfrac{8-24}{3}\right)=\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}\;\text{ua},$

onde  ua = unidades de área.


    Bons estudos!