Question

Encontra a expressao Geral para as sucessoes:

A) $1,10^{1},2,10^{2},3,10^{3},4,10^{4},.......$;

B) $2,\sqrt{3},\sqrt[3]{4},\sqrt[4]{5},.....$

C) $10;10-\sqrt{2};10-\sqrt{3};10-\sqrt{5};.......$

Pessoal, peco explicacao do raciocinio ou analogia usado, pois ter o termo geral como resposta, nao garante o entendimento, e tipo dar uma expressao complexa e dar o resultado, sem ter entendido a analogia. Grato Amigos !!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ronny, para a questão do item "b", que você pediu-me, por e-mail, que tentasse resolvê-la, então temos que a questão do item "b" é esta:

(2; √3; ∛4; ⁴√5; ...... )

Agora veja que:

2 = 2¹
√3 = 3¹/²
∛4 = 4¹/³
⁴√5 = 5¹/⁴

Dessa forma, a sequência ficaria assim:

(2¹; 3¹/²; 4¹/³; 5¹/⁴; ...... ).

Agora veja que: para n = 2; 3; 4; ....., iremos ter que o termo geral (a ̪) será este:

a ̪ ₋₁ = n¹/⁽ⁿ⁻¹⁾ , para n = 2; 3; 4; .......

Veja como é verdade:

i) Para n = 2, teremos (que seria o 1º termo):

a ̪ ₋₁= 2¹/⁽²⁻¹⁾
a₂₋₁ = 2¹/¹
a₁ = 2¹ <--- Veja que temos o 1º termo "2".

ii) para n = 3, teremos:

a ̪ ₋₁ = 3¹/⁽³⁻¹⁾
a₃ ₋₁ = 3¹/²
a₂ = 3¹/² <--- Veja que temos o 2º termo (3¹/² = √3)

iii) para n = 4, teremos:

a ̪ ₋₁= 4¹/⁽⁴⁻¹⁾
a₄₋₁ = 4¹/³
a₃ = 4¹/³ <--- Veja que temos o 3º termo (4¹/³ = ∛4)

iv) Para n = 5, teremos:

a ̪ ₋₁ = 5¹/⁽⁵⁻¹⁾
a₅₋₁ = 5¹/⁴
a₄ = 5¹/⁴ <--- Veja que temos o 4º termo (5¹/⁴ = ⁴√5).

E assim, sucessivamente.

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Olá Ronny.


A - 

Pra resolver essa questão, vamos remover os termos pares e iremos obter a seguinte sequência (1, 2, 3, 4, 5, ...), é fácil ver o termo geral dessa sequência, onde o termo é também a sequência, portanto podemos representa-la da seguinte maneira:

$\mathsf{a_n=n}\\\\\mathsf{a_1=1}\\\\\mathsf{a_2=2}\\\\\mathsf{a_3=3}\\\\\mathsf{...}$

De forma análoga, vamos remover os termos pares e ficaremos com a seguinte sequência: ($\mathsf{10^1,10^2,10^3,10^4,10^5,...}$, potências de 10 onde o expoente acompanha o termo, é fácil ver a formula geral dessa sequência:

$\mathsf{a_n=10^n}\\\\\mathsf{a_1=10^1}\\\\\mathsf{a_2=10^2}\\\\\mathsf{a_3=10^3}\\\\\mathsf{....}$

Voltando a sequência completa é visível ver que ela é composta por duas sequências, onde são separadas em pares e impares, então vamos encontrar uma maneira de representar essas sequência em sua respectiva ordem:

A sequência impar pode ser representada da seguinte maneira:

$\mathsf{a_{2n-1}=n}$

Onde (2n - 1) representa o conjunto dos números ímpares, dessa forma eu consigo facilmente encontrar um termo impar, veja:

$\mathsf{a_{2n-1}=n}\\\\\mathsf{a_{2\cdot[1]-1}=[1]}\\\\\mathsf{a_{2-1}=1}\\\\\mathsf{a_1=1~~\checkmark}\\\underline{\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a_{2\cdot[2]-1}=[2]}\\\\\mathsf{a_{4-1}=2}\\\\\mathsf{a_3=2~~\checkmark}\\\underline{\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a_{2\cdot[3]-1}=[3]}\\\\\mathsf{a_{6-1}=3}\\\\\mathsf{a_{5}=3~~\checkmark}$

Já nos termos pares eu posso representar da seguinte forma:

$\mathsf{a_{2n}=10^n}\\\\\mathsf{a_{2\cdot[1]}=10^{[1]}~~\checkmark}\\\underline{\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a_{2\cdot[2]}=10^{[2]}}\\\\\mathsf{a_{4}=10^2~~\checkmark}\\\underline{\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a_{2\cdot[3]}=10^{[3]}}\\\\\mathsf{a_{6}=10^3~~\checkmark}$

Portanto temos aqui uma operação para achar o termo misto par e impar.

$\boxed{\mathsf{a_{2n-1}=n}}\\\\\boxed{\mathsf{a_{2n}=10^n}}$


B -

Essa questão tem uma resposta bem clara, veja, o índice sobe de forma unitária acompanhando seu respectivo termo, já o radicando o no primeiro termo ele começa com 2, portanto adicionaremos 1 unidade a cada termo:


$\mathsf{a_n=\sqrt[n]{\mathsf{n+1}}}\\\\\mathsf{a_1=\sqrt[1]{\mathsf{1+1}}}\\\\\mathsf{a_1=2~~\checkmark}\\\underline{\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a_2=\sqrt[2]{\mathsf{2+1}}}\\\\\mathsf{a_2=\sqrt[2]{\mathsf{3}}~~\checkmark}\\\underline{\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a_3=\sqrt[3]{\mathsf{3+1}}}\\\\\mathsf{a_3=\sqrt[3]{\mathsf{4}}~~\checkmark}\\\\\\\boxed{\mathsf{a_n=\sqrt[n]{\mathsf{n+1}}}}~~\checkmark$


Dúvidas? comente.